13. Théorie de la diffusion
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parfaitement possible de prendre des éléments de matrice de (13.101) entre
ondes planes | k et | k
′ d’énergie différente :
2 k
2 /2m =
2 k
′ 2 /2m.O nd i t
alors que la matrice T est hors couche d’énergie.
Il reste à définir un dernier objet, la matrice S, reliée à la matrice T par
S = I − 2iπδ(E − H 0 )T
(13.108)
La matrice S n’est définie que pour k = k
′ , c’est-à-dire sur couche d’énergie :
S( k
′ , k)= k
′ |S| k =0si k
′ = k. La propriété essentielle de la matrice S est
son unitarité
S
† S = SS
† = I
(13.109)
Montrons cette propriété à partir de la définition (13.108)
S
† S =
I +2iπδ(E − H 0 )T
†
(I − 2iπδ(E − H 0 )T )
= I +2iπδ(E − H 0 )T
† − 2iπδ(E − H 0 )T +4π
2 δ(E − H 0 )T
† δ(E − H 0 )T
= I − 2iπδ(E − H 0 )(T − T
† +2iπT
† δ(E − H 0 )T )=I
où nous avons utilisé (13.105). La démonstration de SS
† = I suit le même
canev as.Lesélémen tsdematriceS peuvent également s’exprimer en fonction
des états ψ
(+)
k
et ψ
(−)
k
S( k
′ , k)=ϕ k ′ |S|ϕ k = ψ
(−)
k ′ |ψ
(+)
k
(13.110)
Démontrons cette relation
ψ
(−)
k ′ ,ψ
(+)
k
=
ϕ k ′ ,ψ
(+)
k
+
1
E k ′ − H − iη
Vϕ k ′ ,ψ
(+)
k
=
ϕ k ′ ,ψ
(+)
k
+
ϕ k ′ ,Vψ
(+)
k
1
E k ′ − E k + iη
D’autre part,
ϕ k ′ ,ψ
(+)
k
=(ϕ k ′ ,ϕ k )+
ϕ k ,
1
E k − H 0 + iη
Vψ
(+)
k
=(2π)
3 δ
(3) ( k − k
′ )+
1
E k − E k ′ + iη
ϕ k ′ ,Vψ
(+)
k
ce qui donne
ψ
(−)
k ′ ,ψ
(+)
k
=( 2 π)
3 δ
(3) ( k − k
′ )+
ϕ k ′ ,Vψ
(+)
k
×
1
E k ′ − E k + iη
−
1
E k ′ − E k − iη
=( 2 π)
3 δ
(3) ( k − k
′ ) − 2iπδ(E k ′ − E k )
ϕ k ′ ,Vψ
(+)
k
(13.111)