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Physique quantique : Exercices et applications
En effet, d’après (13.96) l’action de T (E) sur ϕ k est
T (E)ϕ k = V
I +
1
E − H + iη
V
ϕ k = Vψ
(+)
k
(13.103)
dont (13.102) découle immédiatement.
La théorie opératorielle permet de retrouver simplement la condition d’unitarité (13.82). Écrivons la seconde expression de T (E) dans (13.101) et son
hermitien conjugé
T (E)=V + V
1
E − H 0 + iη
T (E)
T
† (E)=V + T
† (E)
1
E − H 0 − iη
V
(13.104)
d’où l’on déduit
T = V
T
† − T
†
1
E − H 0 − iη
V
1
E − H 0 + iη
T
T
† = V + T
†
1
E − H 0 − iη
T − V
1
E − H 0 + iη
T
On soustrait ensuite la seconde équation de la première
T − T
† = −T
†
1
E − H 0 − iη
−
1
E − H 0 + iη
T = −2iπT
† δ(E − H 0 )T
(13.105)
Il faut prendre garde au fait que δ(E−H 0 ) ne commute pas avec T . Cependant,
on peut écrire
δ(E − H 0 )T = Tδ(E
′ − H 0 )
(13.106)
En effet, prenons l’élément de matrice de T entre les ondes planes | k et | k
′
k
′ |δ(E − H 0 )T | k = δ(E − E
′ )T ( k
′ , k)
k
′ |Tδ(E
′ − H 0 )| k = δ(E
′ − E)T ( k
′ , k)
Pour terminer la preuve de la relation d’unitarité, introduisons dans (13.105)
la relation de fermeture sur les vecteurs | k
′′ afin d’écrire δ(E − H 0 ) sous la
forme
δ(E − H 0 )=
d
3 k
′′
(2π) 3 | k
′′ δ(E − E
′′ ) k
′′ |
et prenons les éléments de matrice de (13.105) entre les ondes planes | k et
| k
′ . On retrouve alors (13.82)
1
2i
T ( k
′ , k) − T
∗ ( k, k
′ )
= −
πkm
(2π) 3
dΩ k ′′ T
∗ ( k
′′ , k
′ )T ( k
′′ , k
′ ) (13.107)
Nous avons défini la matrice T pour une valeur déterminée E de l’énergie car
E =
2 k
2 /2m = E
′ =
2 k
′ 2 /2m pour une diffusion élastique. En fait, il est