13. Théorie de la diffusion
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ce qui se récrit
G
(+) (E)=G
(+)
0 (E)(I − VG
(+)
0 (E))
−1
= G
(+)
0 (E)+G
(+)
0 (E)VG
(+)
0 (E)+G
(+)
0 (E)VG
(+)
0 (E)VG
(+)
0 (E)+ ···
(13.98)
On en déduit le développement perturbatif de ψ
(+)
k
, ou développement de
Born
ψ
(+)
k
=
I +
∞
n=1
[G
(+)
0 (E)V ]
n
ϕ k
(13.99)
La convergence des développements (13.98) ou (13.99) n’est évidemment pas
garantie. Si G
(+)
0 (E)V possède une valeur propre λ 0 de module > 1, le développement de Born ne converge certainement pas car (1 − λG
(+)
0 (E)V )
−1 est
singulier pour λ = λ
−1
0
λG
(+)
0 (E)Vψ= λ 0 ψ ⇒ (1 − λ
−1
0 G
(+)
0 (E)V )ψ =0
ce qui implique que (1 − λG
(+)
0 (E)V )
−1 est singulier pour λ = λ
−1
0 < 1,e tl e
rayon de convergence de la série est < 1.
Montrons aussi l’orthogonalité des fonctions ψ
(+)
k
et ψ
(+)
k ′ pour k
′ = k,e n
utilisant la notation (ϕ, ψ)=ϕ|ψ pour le produit scalaire
ψ
(+)
k
,ψ
(+)
k ′
=
I +
1
E k − H + iη
V
ϕ k ,ψ
(+)
k ′
=
ϕ k ,ψ
(+)
k ′ + V
1
E k − H − iη
ψ
(+)
k ′
=
ϕ k ,ψ
(+)
k ′ + V
1
E k − E k ′ − iη
ψ
(+)
k ′
(13.100)
=
ϕ k ,ψ
(+)
k ′ −
1
E k ′ − H 0 + iη
Vψ
(+)
k ′
=( ϕ k ,ϕ k ′ )=(2π)
3 δ
(3) ( k − k
′ )
13.5.2 Matrice T et matrice S
Nous avons déjà introduit la matrice T au § 13.4.2, et nous en donnons
maintenant une définition équivalente dans le cadre de la théorie opératorielle
T (E)=V + V
1
E − H + iη
V = V + V
1
E − H 0 + iη
T (E)
(13.101)
Vérifions que cette nouvelle définition obéit bien aux propriétés attendues, en
particulier
ϕ k ′ |T (E)|ϕ k = ϕ k ′ |V |ψ
(+)
k
(13.102)