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Physique quantique : Exercices et applications
Pour montrer cette équivalence, multiplions (13.91) à gauche par le bra r | et
utilisons la relation de fermeture (13.90)
ψ
(+)
k
( r)=e
i k· r +
d
3 k
′
(2π) 3 r | k
′ k
′ |
1
E k − H 0 + iη
Vψ
(+)
k
= e
i k· r +
d
3 k
′ d
3 r
′
(2π) 3 e
i k
′ ·( r− r
′ )
1
E k − E k ′ + iη
V ( r
′ )ψ
(+)
k
( r
′ )
= e
i k· r +
d
3 r
′ G
(+)
0 ( r − r
′ ; E k )V ( r
′ )ψ
(+)
k
( r
′ )
(13.92)
ce qui est bien l’équation intégrale de la diffusion (13.62). L’équation complémentaire de (13.91) est celle donnant ψ
(−)
k
dont le comportement asymptotique est en onde plane + onde entrante
ψ
(−)
k
= ϕ k +
1
E k − H 0 − iη
Vψ
(−)
k
(13.93)
Une expression équivalente de ψ
(+)
k
résulte de l’identité
1
E − H + iη
−
1
E − H 0 + iη
=
1
E − H + iη
V
1
E − H 0 + iη
(13.94)
que l’on vérifie en multipliant les deux membres à droite par (E − H 0 + iη) et
à gauche par (E − H + iη). Une autre écriture utile de (13.94) est
1
E − H 0 + iη
=
1
E − H + iη
I − V
1
E − H 0 + iη
(13.95)
Cette relation permet de donner une autre version de l’équation de LippmanSchwinger
ψ
(+)
k
= ϕ k +
1
E k − H + iη
Vϕ k
(13.96)
Cette version de l’équation de Lippman-Schwinger permet d’écrire ψ
(+)
k
en
fonction de ϕ k en utilisant un développement en puissances de V , c’est-à-dire
un développement perturbatif. Pour le montrer, le plus simple est d’utiliser
dans (13.95) les fonctions de Green G
(+)
0 (E) et G
(+) (E)
G
(+)
0 (E)=
1
E − H 0 + iη
G
(+) (E)=
1
E − H + iη
(13.97)
et (13.95) devient
G
(+)
0 (E)=G
(+) (E)(I + VG
(+)
0 (E))