13. Théorie de la diffusion
579
On intègre sur les angles (θ, φ) de k
′ , ce qui donne
G
(+)
0 ( r; E)=−
1
2π 2 r
2m
2
∞
0
k
′ sin k
′ r dk
′
k ′ 2 − k 2 − iη
= −
1
4π 2 ir
2m
2
∞
−∞
k
′ e
ik
′ r dk
′
k ′ 2 − k 2 − iη
Les pôles du dénominateur sont situés à
k
′ = ±
k 2 + iη = ±(k + iη)
ce qui permet d’intégrer de −∞ à +∞ en évitant les pôles (figure 13.6).
Étant donné que la fonction k
′ /(k
′ 2 − k
2 ) décroît comme 1/k
′ à l’infini, on
peut refermer le contour d’intégration dans le demi-plan complexe supérieur,
et seul le pôle à k
′ = k + iη contribue au résultat final, bien entendu identique
à (13.60)
G
(+)
0 ( r; E)=−
1
4π
2m
2
e
ikr
r
E = E k =
2 k
2
2m
(13.88)
La fonction G
(−) ( r; E) complexe conjuguée de G
(+)
0 ( r; E) s’obtient par la
prescription k
2 → k
2 − iη.
Dans le cas de la diffusion élastique, le hamiltonien total du sytème à
deux corps est H = H 0 + V , H 0 = −
2 ∇
2 /2m est la partie cinétique du
hamiltonien et V le potentiel ; m sera toujours la masse réduite des deux
particules entrant en collision : m = m 1 m 2 /(m 1 + m 2 ) et k l’impulsion de la
particule relative. L’énergie cinétique dans le référentiel du centre de masse est
2 k
2 /2m. Nous utiliserons systématiquement la notation ϕ k pour une onde
plane de vecteur d’onde k et ψ
(+)
k
(ψ
(−)
k
) pour une solution d’énergie E de
l’équation de Schrödinger
Hψ
(±)
k
=(H 0 + V )ψ
(±)
k
= Eψ
(±)
k
(13.89)
dont le comportement à l’infini est celui d’une onde plane plus une onde sphérique sortante (entrante). Nous allons éviter autant que possible les notations
de Dirac |ϕ k et |ψ
(+)
k
afin d’alléger l’écriture. La normalisation est fixée par
r |ϕ k = e
i k· r et donc
d
3 k
(2π) 3 |ϕ k ϕ k | = I
(13.90)
Montrons que l’équation intégrale de la diffusion (13.62) est équivalente à
l’équation de Lippman-Schwinger,a v e cE k =
2 k
2 /2m
ψ
(+)
k
= ϕ k +
1
E k − H 0 + iη
Vψ
(+)
k
(13.91)
579
On intègre sur les angles (θ, φ) de k
′ , ce qui donne
G
(+)
0 ( r; E)=−
1
2π 2 r
2m
2
∞
0
k
′ sin k
′ r dk
′
k ′ 2 − k 2 − iη
= −
1
4π 2 ir
2m
2
∞
−∞
k
′ e
ik
′ r dk
′
k ′ 2 − k 2 − iη
Les pôles du dénominateur sont situés à
k
′ = ±
k 2 + iη = ±(k + iη)
ce qui permet d’intégrer de −∞ à +∞ en évitant les pôles (figure 13.6).
Étant donné que la fonction k
′ /(k
′ 2 − k
2 ) décroît comme 1/k
′ à l’infini, on
peut refermer le contour d’intégration dans le demi-plan complexe supérieur,
et seul le pôle à k
′ = k + iη contribue au résultat final, bien entendu identique
à (13.60)
G
(+)
0 ( r; E)=−
1
4π
2m
2
e
ikr
r
E = E k =
2 k
2
2m
(13.88)
La fonction G
(−) ( r; E) complexe conjuguée de G
(+)
0 ( r; E) s’obtient par la
prescription k
2 → k
2 − iη.
Dans le cas de la diffusion élastique, le hamiltonien total du sytème à
deux corps est H = H 0 + V , H 0 = −
2 ∇
2 /2m est la partie cinétique du
hamiltonien et V le potentiel ; m sera toujours la masse réduite des deux
particules entrant en collision : m = m 1 m 2 /(m 1 + m 2 ) et k l’impulsion de la
particule relative. L’énergie cinétique dans le référentiel du centre de masse est
2 k
2 /2m. Nous utiliserons systématiquement la notation ϕ k pour une onde
plane de vecteur d’onde k et ψ
(+)
k
(ψ
(−)
k
) pour une solution d’énergie E de
l’équation de Schrödinger
Hψ
(±)
k
=(H 0 + V )ψ
(±)
k
= Eψ
(±)
k
(13.89)
dont le comportement à l’infini est celui d’une onde plane plus une onde sphérique sortante (entrante). Nous allons éviter autant que possible les notations
de Dirac |ϕ k et |ψ
(+)
k
afin d’alléger l’écriture. La normalisation est fixée par
r |ϕ k = e
i k· r et donc
d
3 k
(2π) 3 |ϕ k ϕ k | = I
(13.90)
Montrons que l’équation intégrale de la diffusion (13.62) est équivalente à
l’équation de Lippman-Schwinger,a v e cE k =
2 k
2 /2m
ψ
(+)
k
= ϕ k +
1
E k − H 0 + iη
Vψ
(+)
k
(13.91)