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Physique quantique : Exercices et applications
k −ı η
k +ıη
C
Re k
Im k
Fig. 13.6 – Contour d’intégration dans le plan complexe en k pour le calcul de
G
(+)
0 ( r; E).
de la diffusion (13.62) ou pour prouver les équations (13.74) à (13.76). Il est
souvent commode d’éviter les fonctions d’onde et de déduire les résultats importants à partir de manipulations d’opérateurs : nous verrons par exemple
que les équations (13.74) à (13.76) ou la relation d’unitarité (13.58) peuvent
être démontrées de façon plus simple en manipulant des opérateurs adéquats,
sans passer par l’intermédiaire du comportement asymptotique des fonctions
d’onde. Cependant, cette simplicité a un coût : la signification physique des
ces manipulations n’est pas évidente, et de plus les opérateurs utilisés sont
singuliers et leur utilisation demande certaines précautions : exercice 13.6.7.
Un autre avantage du formalisme opératoriel est qu’il se généralise facilement
au cas des collisions inélastiques : c’est ce que nous verrons au § 13.5.3, mais,
dans un premier temps, nous nous limitons au cas élastique, afin de faire
le lien avec les sections précédentes. Pour introduire l’équation de LippmanSchwinger, donnons une seconde façon de déduire la fonction de Green (13.60),
un peu plus longue mais indispensable pour la suite. Suivant le § 12.1.2, la
fonction de Green G
(+)
0 ( r; E),avecE =
2 k
2 /2m, s’obtient comme une transformée de Fourier (η → 0
+ )
G
(+)
0 ( r; E)=
d
3 k
′
(2π) 3
e
i k
′ · r
E − 2 k ′ 2 /2m + iη
= −
2m
2
d
3 k
′
(2π) 3
e
i k
′ · r
k ′ 2 − k 2 − iη
(13.87)
Physique quantique : Exercices et applications
k −ı η
k +ıη
C
Re k
Im k
Fig. 13.6 – Contour d’intégration dans le plan complexe en k pour le calcul de
G
(+)
0 ( r; E).
de la diffusion (13.62) ou pour prouver les équations (13.74) à (13.76). Il est
souvent commode d’éviter les fonctions d’onde et de déduire les résultats importants à partir de manipulations d’opérateurs : nous verrons par exemple
que les équations (13.74) à (13.76) ou la relation d’unitarité (13.58) peuvent
être démontrées de façon plus simple en manipulant des opérateurs adéquats,
sans passer par l’intermédiaire du comportement asymptotique des fonctions
d’onde. Cependant, cette simplicité a un coût : la signification physique des
ces manipulations n’est pas évidente, et de plus les opérateurs utilisés sont
singuliers et leur utilisation demande certaines précautions : exercice 13.6.7.
Un autre avantage du formalisme opératoriel est qu’il se généralise facilement
au cas des collisions inélastiques : c’est ce que nous verrons au § 13.5.3, mais,
dans un premier temps, nous nous limitons au cas élastique, afin de faire
le lien avec les sections précédentes. Pour introduire l’équation de LippmanSchwinger, donnons une seconde façon de déduire la fonction de Green (13.60),
un peu plus longue mais indispensable pour la suite. Suivant le § 12.1.2, la
fonction de Green G
(+)
0 ( r; E),avecE =
2 k
2 /2m, s’obtient comme une transformée de Fourier (η → 0
+ )
G
(+)
0 ( r; E)=
d
3 k
′
(2π) 3
e
i k
′ · r
E − 2 k ′ 2 /2m + iη
= −
2m
2
d
3 k
′
(2π) 3
e
i k
′ · r
k ′ 2 − k 2 − iη
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