13. Théorie de la diffusion
577
et on peut remplacer kr dans (13.85) par r ˆ
k 0 · k ce qui donne
ψ diff ( r, t) ≃
f (k 0 ˆ
r, k 0 )
r
ϕ(r ˆ
k 0 ,t) ≃
f (k 0 ˆ
r, k 0 )
r
ϕ[(r − v 0 t) ˆ
k 0 , 0]e
iω0t
Lorsque t est grand et négatif, |(r − v 0 t)|≫∆r et comme ϕ(r
′ , 0) est négligeable pour r
′ ≫ ∆r, ψ diff → 0 et le paquet d’ondes tend vers un paquet
d’ondes libre : tant que le paquet d’ondes n’a pas de recouvrement avec le
potentiel, ψ diff est pratiquement nul
lim
t→−∞
ψ( r, t)=ϕ( r, t)
Le paquet d’ondes interagit avec la cible pour t ∼ 0 et lorsque t → +∞
ψ diff ( r, t) ≃
f (k 0 ˆ
r, k 0 )
r
ϕ[(r − v 0 t) ˆ
k 0 , 0] e
iω0t
On retrouve le paquet d’ondes dans une direction différente de la direction
initiale, modulé par l’amplitude de diffusion f (k 0 ˆ
r, k 0 ) et se propageant radialement avec une vitesse v 0 .
Nous pouvons maintenant calculer la probabilité dp de déclenchement d’un
détecteur de surface dS = r
2 dΩ placé dans la direction r. Comme le courant
à l’instant t est v 0 |ψ diff |
2 ˆ
r, la probabilité de déclencher le détecteur est
dp = v 0 r
2 dΩ
+∞
−∞
|ψ diff ( r, t)|
2 dt
= v 0 dΩ|f (k 0 ˆ
r, k 0 )|
2
+∞
−∞
|ϕ[(r − v 0 t) ˆ
k 0 , 0]|
2 dt
Par ailleurs, la probabilité pour que la particule incidente traverse une surface
unité perpendiculaire au faisceau incident est
+∞
−∞
|ϕ[(r − v 0 t) ˆ
k 0 , 0]|
2 dt
et on déduit de la définition (13.1) de la section efficace
dσ
dΩ
= |f (k 0 ˆ
r, k 0 )|
2 = |f (Ω)|
2
(13.86)
ce qui complète la justification de (13.12).
13.5 Théorie opératorielle de la diffusion
13.5.1 Équations de Lippman-Schwinger
Nous avons jusqu’à présent utilisé le formalisme de la mécanique ondulatoire pour l’étude de la diffusion, par exemple pour écrire l’équation intégrale
577
et on peut remplacer kr dans (13.85) par r ˆ
k 0 · k ce qui donne
ψ diff ( r, t) ≃
f (k 0 ˆ
r, k 0 )
r
ϕ(r ˆ
k 0 ,t) ≃
f (k 0 ˆ
r, k 0 )
r
ϕ[(r − v 0 t) ˆ
k 0 , 0]e
iω0t
Lorsque t est grand et négatif, |(r − v 0 t)|≫∆r et comme ϕ(r
′ , 0) est négligeable pour r
′ ≫ ∆r, ψ diff → 0 et le paquet d’ondes tend vers un paquet
d’ondes libre : tant que le paquet d’ondes n’a pas de recouvrement avec le
potentiel, ψ diff est pratiquement nul
lim
t→−∞
ψ( r, t)=ϕ( r, t)
Le paquet d’ondes interagit avec la cible pour t ∼ 0 et lorsque t → +∞
ψ diff ( r, t) ≃
f (k 0 ˆ
r, k 0 )
r
ϕ[(r − v 0 t) ˆ
k 0 , 0] e
iω0t
On retrouve le paquet d’ondes dans une direction différente de la direction
initiale, modulé par l’amplitude de diffusion f (k 0 ˆ
r, k 0 ) et se propageant radialement avec une vitesse v 0 .
Nous pouvons maintenant calculer la probabilité dp de déclenchement d’un
détecteur de surface dS = r
2 dΩ placé dans la direction r. Comme le courant
à l’instant t est v 0 |ψ diff |
2 ˆ
r, la probabilité de déclencher le détecteur est
dp = v 0 r
2 dΩ
+∞
−∞
|ψ diff ( r, t)|
2 dt
= v 0 dΩ|f (k 0 ˆ
r, k 0 )|
2
+∞
−∞
|ϕ[(r − v 0 t) ˆ
k 0 , 0]|
2 dt
Par ailleurs, la probabilité pour que la particule incidente traverse une surface
unité perpendiculaire au faisceau incident est
+∞
−∞
|ϕ[(r − v 0 t) ˆ
k 0 , 0]|
2 dt
et on déduit de la définition (13.1) de la section efficace
dσ
dΩ
= |f (k 0 ˆ
r, k 0 )|
2 = |f (Ω)|
2
(13.86)
ce qui complète la justification de (13.12).
13.5 Théorie opératorielle de la diffusion
13.5.1 Équations de Lippman-Schwinger
Nous avons jusqu’à présent utilisé le formalisme de la mécanique ondulatoire pour l’étude de la diffusion, par exemple pour écrire l’équation intégrale