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Physique quantique : Exercices et applications
pratiquement toujours le cas), on pouvait alors négliger l’étalement du paquet
d’ondes et (13.83) sous la forme (8.51) généralisée à trois dimensions (avec les
changements de notations k → k 0 ,v g → v 0 )d e v i e n t
ϕ( r, t) ≃ e
iω0t ϕ( r − v 0 t, t =0)
(13.84)
où la vitesse de groupe v 0 = k 0 /m. Ceci implique que |ϕ( r, t)| est négligeable
si | r − v 0 t|≫∆r, c’est-à-dire si | r − v 0 t| est grand par rapport à l’extension
∆r du paquet d’ondes. La fonction d’onde dépendant du temps ψ
(+)
k
( r, t) en
présence du potentiel V ( r) s’obtient en remplaçant dans l’expression (13.83)
du paquet d’ondes l’onde plane exp(i k · r) par ψ
(+)
k
( r). L’expression ainsi obtenue est en effet solution de l’équation de Schrödinger dépendant du temps en
présence du potentiel V ( r), avec un comportement d’onde sphérique sortante.
Décomposons la fonction d’onde ψ
(+)
k
( r, t) en une partie libre et une partie
diffusée
ψ
(+)
k
( r, t)=ϕ( r, t)+ψ diff ( r, t)
Lorsque le paquet d’ondes est loin de la cible, on peut remplacer ψ
(+)
k
( r) par
sa forme asymptotique (13.63)
ψ
(+)
k
( r) → e
i k· r + f (kˆ r, k)
e
ikr
r
et donc
ψ diff ( r, t)=
d
3 k
(2π) 3 A( k)f (kˆ r, k)
e
ikr
r
e
−iω k t
Supposons que f (kˆ r, k) varie suffisamment lentement
13 avec k . Dans ces
conditions,
f (kˆ r, k) ≃ f (k 0 ˆ
r, k 0 )
et la partie diffusée est
ψ diff ( r, t) ≃
f (k 0 ˆ
r, k 0 )
r
d
3 k
(2π) 3 A( k)exp[i(kr − ω k t)]
(13.85)
On remarque ensuite que
k =[( k 0 +( k − k 0 ))
2 ]
1/2 = k 0 + ˆ
k 0 ·( k − k 0 )+O
(∆k)
2
k 0
= ˆ
k 0 · k +O
(∆k)
2
k 0
Comme le temps caractéristique t ∼ r/v 0 = mr/(k 0 )
(∆k)
2 r
k 0
≃
(∆k)
2 t
m
≪ 1
13. En présence d’une résonance, il peut arriver que cette condition ne soit pas vérifiée.
Physique quantique : Exercices et applications
pratiquement toujours le cas), on pouvait alors négliger l’étalement du paquet
d’ondes et (13.83) sous la forme (8.51) généralisée à trois dimensions (avec les
changements de notations k → k 0 ,v g → v 0 )d e v i e n t
ϕ( r, t) ≃ e
iω0t ϕ( r − v 0 t, t =0)
(13.84)
où la vitesse de groupe v 0 = k 0 /m. Ceci implique que |ϕ( r, t)| est négligeable
si | r − v 0 t|≫∆r, c’est-à-dire si | r − v 0 t| est grand par rapport à l’extension
∆r du paquet d’ondes. La fonction d’onde dépendant du temps ψ
(+)
k
( r, t) en
présence du potentiel V ( r) s’obtient en remplaçant dans l’expression (13.83)
du paquet d’ondes l’onde plane exp(i k · r) par ψ
(+)
k
( r). L’expression ainsi obtenue est en effet solution de l’équation de Schrödinger dépendant du temps en
présence du potentiel V ( r), avec un comportement d’onde sphérique sortante.
Décomposons la fonction d’onde ψ
(+)
k
( r, t) en une partie libre et une partie
diffusée
ψ
(+)
k
( r, t)=ϕ( r, t)+ψ diff ( r, t)
Lorsque le paquet d’ondes est loin de la cible, on peut remplacer ψ
(+)
k
( r) par
sa forme asymptotique (13.63)
ψ
(+)
k
( r) → e
i k· r + f (kˆ r, k)
e
ikr
r
et donc
ψ diff ( r, t)=
d
3 k
(2π) 3 A( k)f (kˆ r, k)
e
ikr
r
e
−iω k t
Supposons que f (kˆ r, k) varie suffisamment lentement
13 avec k . Dans ces
conditions,
f (kˆ r, k) ≃ f (k 0 ˆ
r, k 0 )
et la partie diffusée est
ψ diff ( r, t) ≃
f (k 0 ˆ
r, k 0 )
r
d
3 k
(2π) 3 A( k)exp[i(kr − ω k t)]
(13.85)
On remarque ensuite que
k =[( k 0 +( k − k 0 ))
2 ]
1/2 = k 0 + ˆ
k 0 ·( k − k 0 )+O
(∆k)
2
k 0
= ˆ
k 0 · k +O
(∆k)
2
k 0
Comme le temps caractéristique t ∼ r/v 0 = mr/(k 0 )
(∆k)
2 r
k 0
≃
(∆k)
2 t
m
≪ 1
13. En présence d’une résonance, il peut arriver que cette condition ne soit pas vérifiée.