13. Théorie de la diffusion
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ce qui permet d’écrire (13.78) en fonction de la vitesse v = k/m et de D(E)
dσ( k → k
′ )
dΩ k ′
=
2π
v
||ϕ k ′ |V |ψ
(+)
k
|
2 D(E)
(13.80)
À l’approximation de Born, ce résultat coïncide avec celui que l’on obtiendrait
à partir de la règle d’or de Fermi (8.152). La combinaison ϕ k ′ |V |ψ
(+)
k
n’est
pas un élément de matrice de V car ϕ k ′ et ψ
(+)
k
sont des vecteurs appartenant
à des bases différentes de l’espace de Hilbert. Il est donc utile de définir un
opérateur T ,a p p e l ématrice T, dont les éléments de matrice sont pris entre
vecteurs d’une même base |ϕ k
T ( k
′ , k) ≡ T ( k → k
′ )=ϕ k ′ |T |ϕ k = ϕ k ′ |V |ψ
(+)
k
= −
2π
2
m
f ( k
′ , k)
(13.81)
Notons que la matrice T n’est pour le moment définie qu’entre états de même
énergie, car k = k
′ . La relation d’unitarité (13.58) lorsque Im V =0s’écrit
aussi en fonction de la matrice T
1
2i
T ( k
′ , k) − T
∗ ( k, k
′ )
= −
mkπ
(2π) 3
dΩ k ′′ T
∗ ( k
′′ , k
′ )T ( k
′′ , k)
= −π
D(E)dΩ k ′′ T
∗ ( k
′′ , k
′ )T ( k
′′ , k) (13.82)
Cette relation d’unitarité fait intervenir la densité d’états (8.136) pour un
volume V =1
D(E)dΩ k ′′ =
mk
(2π) 3 dΩ k ′′
13.4.3 Diffusion d’un paquet d’ondes
Un deuxième point qu’il est nécessaire de justifier est l’utilisation d’un
formalisme stationnaire, alors que la diffusion d’une particule est fondamentalement un processus dépendant du temps ; il nous faut donc étudier la diffusion d’un paquet d’ondes. Nous supposerons le paquet d’ondes centré autour
d’une impulsion k 0 avec une dispersion ∆k ≪ k 0 , et nous supposerons aussi
que la dimension ∆r ∼ 1/∆k du paquet d’ondes est très petite par rapport
aux distances caractéristiques de l’expérience, par exemple la distance cibledétecteur. Le paquet d’ondes libre s’écrit sous une forme qui généralise (8.44)
à trois dimensions
ϕ( r, t)=
d
3 k
(2π) 3 A( k)exp
i k · r − iω k t
(13.83)
avec ω k = k
2 /(2m), la fréquence moyenne étant ω 0 = k
2
0 /(2m).Nousa v ons
montré au § 8.1.5 que si la condition (∆k)
2 t/m ≪ 1 était vérifiée (ce qui est
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ce qui permet d’écrire (13.78) en fonction de la vitesse v = k/m et de D(E)
dσ( k → k
′ )
dΩ k ′
=
2π
v
||ϕ k ′ |V |ψ
(+)
k
|
2 D(E)
(13.80)
À l’approximation de Born, ce résultat coïncide avec celui que l’on obtiendrait
à partir de la règle d’or de Fermi (8.152). La combinaison ϕ k ′ |V |ψ
(+)
k
n’est
pas un élément de matrice de V car ϕ k ′ et ψ
(+)
k
sont des vecteurs appartenant
à des bases différentes de l’espace de Hilbert. Il est donc utile de définir un
opérateur T ,a p p e l ématrice T, dont les éléments de matrice sont pris entre
vecteurs d’une même base |ϕ k
T ( k
′ , k) ≡ T ( k → k
′ )=ϕ k ′ |T |ϕ k = ϕ k ′ |V |ψ
(+)
k
= −
2π
2
m
f ( k
′ , k)
(13.81)
Notons que la matrice T n’est pour le moment définie qu’entre états de même
énergie, car k = k
′ . La relation d’unitarité (13.58) lorsque Im V =0s’écrit
aussi en fonction de la matrice T
1
2i
T ( k
′ , k) − T
∗ ( k, k
′ )
= −
mkπ
(2π) 3
dΩ k ′′ T
∗ ( k
′′ , k
′ )T ( k
′′ , k)
= −π
D(E)dΩ k ′′ T
∗ ( k
′′ , k
′ )T ( k
′′ , k) (13.82)
Cette relation d’unitarité fait intervenir la densité d’états (8.136) pour un
volume V =1
D(E)dΩ k ′′ =
mk
(2π) 3 dΩ k ′′
13.4.3 Diffusion d’un paquet d’ondes
Un deuxième point qu’il est nécessaire de justifier est l’utilisation d’un
formalisme stationnaire, alors que la diffusion d’une particule est fondamentalement un processus dépendant du temps ; il nous faut donc étudier la diffusion d’un paquet d’ondes. Nous supposerons le paquet d’ondes centré autour
d’une impulsion k 0 avec une dispersion ∆k ≪ k 0 , et nous supposerons aussi
que la dimension ∆r ∼ 1/∆k du paquet d’ondes est très petite par rapport
aux distances caractéristiques de l’expérience, par exemple la distance cibledétecteur. Le paquet d’ondes libre s’écrit sous une forme qui généralise (8.44)
à trois dimensions
ϕ( r, t)=
d
3 k
(2π) 3 A( k)exp
i k · r − iω k t
(13.83)
avec ω k = k
2 /(2m), la fréquence moyenne étant ω 0 = k
2
0 /(2m).Nousa v ons
montré au § 8.1.5 que si la condition (∆k)
2 t/m ≪ 1 était vérifiée (ce qui est