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Physique quantique : Exercices et applications
avec k = k
′ car la diffusion est élastique. Pour évaluer W ( ˆ
ψ
∗ ,ψ)=
lim R→∞ W R ( ˆ
ψ
∗ ,ψ),oùW R est défini en (13.70), nous devons calculer 4 termes
W ( ˆ
ψ
∗ ,ψ)=W
e
−i k
′ · r , e
i k· r
+ W
[ ˆ
f
(−) ]
∗ (Ω r )
e
ik
′ r
r
, e
i k· r
+ W
e
−i k
′ · r ,f
(+) [Ω r ]
e
ikr
r
+W
( ˆ
f
(−) )
∗ (Ω r )
e
ik
′ r
r
,f
(+) (Ω r )
e
ikr
r
En revenant au membre de gauche de (13.70), on voit que le premier terme
s’annule car, par exemple, ∇
2 e
i k· r = − k
2 e
i k· r et k
2 = k
′ 2 pour une diffusion élastique. En utilisant (13.67), on montre que le deuxième terme vaut
4π[ ˆ
f
(−) ]
∗ (−Ω k ), le troisième vaut −4πf
(+) (Ω k ′ ) et le quatrième terme s’annule. Il reste donc
ˆ
ψ
(−)
k ′ |(V − ˆ
V )|ψ
(+)
k
= −
2π
2
m
f
(+) (Ω k ′ ) − [ ˆ
f
(−) ]
∗ (−Ω k )
(13.73)
Pour faire le lien avec les notations précédentes, on observe que
f
(+) (Ω k ′ )=f
(+) ( k
′ , k)=f ( k
′ , k)
f
(−) (−Ω k ) ≡ f
(−) (− k, k
′ )
Comme première application de (13.73), choisissons ˆ
V =0 ,e td o n cψ
(−)
k ′ =
ϕ k ′ , ce qui redonne (13.64)
ϕ k ′ |V |ψ
(+)
k
= −
2π
2
m
f
(+) (Ω k ′ )
(13.74)
Choisissons ensuite V = ˆ
V ,a v e cp o u rr é s u l t a t
f
(+) (Ω k ′ )=[f
(−) ]
∗ (−Ω k )
(13.75)
Choisissons finalement V =0, ˆ
V = V , nous obtenons
ψ
(−)
k ′ |V |ϕ k = −
2π
2
m
[f
(−) ]
∗ (−Ω k )
(13.76)
Des équations (13.74) à (13.76), nous déduisons l’importante égalité
ψ
(−)
k ′ |V |ϕ k = ϕ k ′ |V |ψ
(+)
k
(13.77)
L’expression de la section efficace différentielle s’obtient à partir de (13.12)
dσ( k → k
′ )
dΩ k ′
=
m
2
4π 2 4 ||ϕ k ′ |V |ψ
(+)
k
|
2
(13.78)
Il est instructif d’écrire la section efficace différentielle en faisant intervenir la
densité d’états finaux D(E) pour V =1(8.136) sous la forme
D(E)=
mk
(2π) 3
(13.79)