13. Théorie de la diffusion
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énergie E mais correspondant à des potentiels V et ˆ
V différents
−
2
2m
∇
2 + V
ψ = Eψ
−
2
2m
∇
2 + ˆ
V
ˆ
ψ = E ˆ
ψ
(13.68)
Multiplions la première des équations (13.68) par ˆ
ψ
∗ , prenons le complexe
conjugué de la seconde, multiplions la par ψ et soustrayons de la première
ˆ
ψ
∗ ∇
2 ψ − ψ(∇
2 ˆ
ψ
∗ )=
2m
2
ˆ
ψ
∗ (V − ˆ
V )ψ
(13.69)
Intégrons ce résultat à l’intérieur d’une sphère S(R) de rayon R →∞et
utilisons le théorème de Green pour transformer l’intégrale de volume du
premier membre en intégrale sur la surface de la sphère S(R)
r≤R
d
3 r
ˆ
ψ
∗ ∇
2 ψ − ψ(∇
2 ˆ
ψ
∗ )
=
S(R)
ˆ
ψ
∗
∇ψ − ψ(
∇ ˆ
ψ
∗ )
· d
S
=
S(R)
ˆ
ψ
∗ ∂ψ
∂r
− ψ
∂ ˆ
ψ
∗
∂r
r=R
R
2 dΩ r
= W R ( ˆ
ψ
∗ ,ψ)
(13.70)
On pourrait penser que le membre de gauche de (13.70) s’annule car ∇
2 est
a priori un opérateur hermitien. Mais ∇
2 n’est en fait pas hermitien (ou
plus exactement pas auto-adjoint) pour des fonctions ψ et ˆ
ψ de type onde
plane + onde sphérique qui ne décroissent pas suffisamment vite à l’infini :
voir l’exercice 13.6.7. Pour prendre en compte l’intégration sur r dans le second
membre de (13.69), nous utilisons la notation de Dirac avec R →∞
lim
R→∞
2m
2
r≤R
d
3 r ˆ
ψ
∗ (V − ˆ
V )ψ
=
2m
2 ˆ
ψ|(V − ˆ
V )|ψ
(13.71)
Comme les potentiels sont supposés décroître suffisamment rapidement à l’infini, il est possible de prendre la limite R →∞dans le premier membre de
(13.71).
Nous allons choisir pour ψ une solution ψ
(+) de type onde plane + onde
sortante et pour ˆ
ψ une solution ˆ
ψ
(−) de type onde plane + onde entrante.
ψ
(+)
k
≃
r→∞
e
i k· r + f
(+) (Ω r )
e
ikr
r
ˆ
ψ
(−)
k ′
≃
r→∞
e
i k
′ · r + ˆ
f
(−) (Ω r )
e
−ik
′ r
r
(13.72)