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Physique quantique : Exercices et applications
et que f B ne dépend que de la combinaison k sin(θ/2) de k et de θ si le potentiel est à symétrie sphérique. Cette particularité est bien sûr spécifique
de l’approximation de Born. Les critères de validité de l’approximation de
Born sont délicats à énoncer de façon précise : en gros, il faut que l’énergie
soit grande ou que le potentiel soit faible. Dans le cas de la diffusion coulombienne, l’approximation de Born donne le résultat exact pour la section
efficace (mais non pour l’amplitude !) à toute énergie, très en dehors de son
domaine théorique de validité (exercice 13.6.4).
13.4.2 Matrice T
Revenons à l’équation exacte (13.64) pour l’amplitude de diffusion, et
écrivons-la avec les notations de Dirac ; nous utiliserons indifféremment |ϕ k
ou | k pour une onde plane de vecteur d’onde k avec la normalisation
r| k =exp(i k · r). L’équation (13.64) peut s’écrire
f ( k
′ , k)=−
m
2π 2 ϕ k ′ |V |ψ
(+)
k
(13.66)
Nous allons maintenant démontrer plusieurs relations importantes en examinant le comportement asymptotique r →∞des solutions de l’équation de
Schrödinger. Établissons un premier résultat préliminaire sur le comportement asymptotique des ondes planes
e
i k· r ≃
r→∞
2π
ikr
δ(Ω r − Ω k )e
ikr − δ(Ω r +Ω k )e
−ikr
+ O
1
r 2
(13.67)
où Ω r par exemple désigne l’angle solide Ω r =( θ, φ) donnant la direction
de r. Pour démontrer ce résultat, considérons une fonction Φ(Ω) de l’angle
azimutal φ et du cosinus de l’angle polaire θ, μ =cosθ, qui soit suffisamment
dérivable, et effectuons une intégration par parties dans
J =
e
i k· r Φ(Ω)dΩ=
e
ikrµ Φ(μ, φ)dμ dφ
=
dφ
e
ikrµ Φ(μ, φ)
ikr
+1
−1
−
1
ikr
+1
−1
e
ikrµ ∂Φ
∂μ
dμ dφ
La fonction Φ(μ, φ) est indépendante de φ pour μ = ±1, et d’autre part, le
second terme de l’équation précédente donne une contribution en 1/(kr)
2 ,
car l’intégration sur μ donne un facteur supplémentaire 1/(kr). Finalement,
l’intégrale J vaut
J =
2π
ikr
Φ(Ω k )e
ikr − Φ(−Ω k )e
−ikr
+ O
1
r 2
ce qui justifie (13.67). Le deuxième résultat préliminaire découle du théorème
de Green. Soit deux solutions ψ et ˆ
ψ de l’équation de Schrödinger de même
Physique quantique : Exercices et applications
et que f B ne dépend que de la combinaison k sin(θ/2) de k et de θ si le potentiel est à symétrie sphérique. Cette particularité est bien sûr spécifique
de l’approximation de Born. Les critères de validité de l’approximation de
Born sont délicats à énoncer de façon précise : en gros, il faut que l’énergie
soit grande ou que le potentiel soit faible. Dans le cas de la diffusion coulombienne, l’approximation de Born donne le résultat exact pour la section
efficace (mais non pour l’amplitude !) à toute énergie, très en dehors de son
domaine théorique de validité (exercice 13.6.4).
13.4.2 Matrice T
Revenons à l’équation exacte (13.64) pour l’amplitude de diffusion, et
écrivons-la avec les notations de Dirac ; nous utiliserons indifféremment |ϕ k
ou | k pour une onde plane de vecteur d’onde k avec la normalisation
r| k =exp(i k · r). L’équation (13.64) peut s’écrire
f ( k
′ , k)=−
m
2π 2 ϕ k ′ |V |ψ
(+)
k
(13.66)
Nous allons maintenant démontrer plusieurs relations importantes en examinant le comportement asymptotique r →∞des solutions de l’équation de
Schrödinger. Établissons un premier résultat préliminaire sur le comportement asymptotique des ondes planes
e
i k· r ≃
r→∞
2π
ikr
δ(Ω r − Ω k )e
ikr − δ(Ω r +Ω k )e
−ikr
+ O
1
r 2
(13.67)
où Ω r par exemple désigne l’angle solide Ω r =( θ, φ) donnant la direction
de r. Pour démontrer ce résultat, considérons une fonction Φ(Ω) de l’angle
azimutal φ et du cosinus de l’angle polaire θ, μ =cosθ, qui soit suffisamment
dérivable, et effectuons une intégration par parties dans
J =
e
i k· r Φ(Ω)dΩ=
e
ikrµ Φ(μ, φ)dμ dφ
=
dφ
e
ikrµ Φ(μ, φ)
ikr
+1
−1
−
1
ikr
+1
−1
e
ikrµ ∂Φ
∂μ
dμ dφ
La fonction Φ(μ, φ) est indépendante de φ pour μ = ±1, et d’autre part, le
second terme de l’équation précédente donne une contribution en 1/(kr)
2 ,
car l’intégration sur μ donne un facteur supplémentaire 1/(kr). Finalement,
l’intégrale J vaut
J =
2π
ikr
Φ(Ω k )e
ikr − Φ(−Ω k )e
−ikr
+ O
1
r 2
ce qui justifie (13.67). Le deuxième résultat préliminaire découle du théorème
de Green. Soit deux solutions ψ et ˆ
ψ de l’équation de Schrödinger de même