13. Théorie de la diffusion
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et nous obtenons, en définissant k
′ = kˆ r
2
2m
G
(+)
0 ( r − r
′ )=−
e
ik| r− r
′ |
4πr
= −
e
ikr e
i k
′ · r
′
4πr
+ O
k
r
′ 2
r 2
(13.61)
ce qui montre que G
(+)
0
a bien un comportement d’onde sphérique sortante.
La fonction ψ
(+)
k
( r) définie de façon implicite par
ψ
(+)
k
( r)=e
i k· r +
G
(+)
0 ( r − r
′ )V ( r
′ )ψ
(+)
k
( r
′ ) d
3 r
′
(13.62)
obéit à l’équation de Schrödinger. En effet, en utilisant (13.59)
(∇
2 + k
2 )ψ
(+)
k
( r)=
2m
2
δ( r − r
′ )V ( r
′ )ψ
(+)
k
( r
′ )=
2m
2 V ( r) ψ
(+)
k
( r)
L’équation (13.62) est appelée équation intégrale de la diffusion.L ep o i n t
essentiel est que ψ
(+)
k
( r) a bien le comportement asymptotique (13.9). En
effet, en utilisant (13.61) et (13.62) lorsque r →∞
ψ
(+)
k
( r) ≃ e
i k· r −
m
2π 2
e
ikr
r
e
−i k
′ · r
′ V ( r
′ )ψ
(+)
k
( r
′ )d
3 r
′
(13.63)
En choisissant G
(−)
0
au lieu de G
(+)
0 , on obtiendrait bien évidemment le comportement asymptotique (13.10) de ψ
(−)
k
( r) avec une onde sphérique sortante.
On identifie immédiatement l’amplitude de diffusion f (Ω) à partir de (13.9)
f (Ω) = f ( k
′ , k)=−
m
2π 2
e
−i k
′ · r
′ V ( r
′ )ψ
(+)
k
( r
′ )d
3 r
′
(13.64)
Cette équation est exacte, mais bien sûr il faut connaître ψ
(+)
k
( r),e to nn e
peut pas se dispenser de la résolution de l’équation de Schrödinger ! On peut
résoudre (13.63) de façon approchée par itération, la première itération étant
ψ
(+)
k
( r)=e
i k· r
En reportant dans (13.64), on obtient f ( k
′ , k) à l’approximation de Born
f B ( k
′ , k)=−
m
2π 2
e
−i q· r V ( r)d
3 r
(13.65)
Le vecteur q = k
′ − k est le transfert de vecteur d’onde, q le transfert
d’impulsion et f B est la transformée de Fourier du potentiel par rapport à
q.
On note que
q =2k sin
θ
2