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Physique quantique : Exercices et applications
13.4 Développements formels
13.4.1 Équation intégrale de la diffusion
Nous allons reprendre dans cette section quelques points que nous avons
laissés dans l’ombre jusqu’à présent, afin de clarifier certains des arguments
précédents. Nous allons d’abord démontrer une équation, l’équation intégrale
de la diffusion, qui nous permettra de justifier les expressions asymptotiques
(13.9) et (13.10) et se révèlera également utile dans d’autres développements
de la théorie de la diffusion. La démonstration repose sur l’expression des
fonctions de Green G 0 ( r ) de l’équation de Schrödinger lorsque V =0 ,q u i
vérifient
(∇
2 + k
2 )G 0 ( r )=
2m
2 δ( r )
(13.59)
Le facteur 2m/
2 assure la cohérence des notations avec celles des sections
suivantes. De façon générale, les fonctions de Green G d’une équation d’onde
Lψ =0sont définies par LG = δ( r ) (section 12.1). La solution de ce type
d’équation n’est pas unique et la forme précise de la fonction de Green que l’on
doit utiliser pour un problème donné est fixée par des conditions aux limites.
Nous aurons besoin des fonctions de Green G
(±)
0 ( r) ayant pour r →∞un
comportement d’onde sphérique sortante dans le cas de G
(+)
0 ( r) et entrante
dans le cas de G
(−)
0 ( r). Ces fonctions de Green sont données par
12
G
(±)
0 ( r)=−
1
4π
2m
2
e
±ikr
r
(13.60)
La vérification de (13.59) est immédiate
∇
2 e
±ikr
r
= ∇
2
e
±ikr − 1
r
+ ∇
2 1
r
=
1
r
d
2
dr 2 e
±ikr − 4πδ( r)
= −k
2 e
±ikr
r
− 4πδ( r)
où nous avons utilisé le fait que la fonction (exp(ikr) − 1)/r est régulière à
r =0et (13.42).
Examinons le comportement de la fonction G
(+)
0 ( r − r
′ ) lorsque r →∞
tandis que r
′ reste fini. Dans cette limite,
| r − r
′ | = r − ˆ
r · r
′ + O
r
′ 2
r
12. Toute combinaison λG (+) +( 1− λ)G (−) + G h ,o ùG h est solution de l’équation
d’ondes homogène, vérifie également (13.59).
Physique quantique : Exercices et applications
13.4 Développements formels
13.4.1 Équation intégrale de la diffusion
Nous allons reprendre dans cette section quelques points que nous avons
laissés dans l’ombre jusqu’à présent, afin de clarifier certains des arguments
précédents. Nous allons d’abord démontrer une équation, l’équation intégrale
de la diffusion, qui nous permettra de justifier les expressions asymptotiques
(13.9) et (13.10) et se révèlera également utile dans d’autres développements
de la théorie de la diffusion. La démonstration repose sur l’expression des
fonctions de Green G 0 ( r ) de l’équation de Schrödinger lorsque V =0 ,q u i
vérifient
(∇
2 + k
2 )G 0 ( r )=
2m
2 δ( r )
(13.59)
Le facteur 2m/
2 assure la cohérence des notations avec celles des sections
suivantes. De façon générale, les fonctions de Green G d’une équation d’onde
Lψ =0sont définies par LG = δ( r ) (section 12.1). La solution de ce type
d’équation n’est pas unique et la forme précise de la fonction de Green que l’on
doit utiliser pour un problème donné est fixée par des conditions aux limites.
Nous aurons besoin des fonctions de Green G
(±)
0 ( r) ayant pour r →∞un
comportement d’onde sphérique sortante dans le cas de G
(+)
0 ( r) et entrante
dans le cas de G
(−)
0 ( r). Ces fonctions de Green sont données par
12
G
(±)
0 ( r)=−
1
4π
2m
2
e
±ikr
r
(13.60)
La vérification de (13.59) est immédiate
∇
2 e
±ikr
r
= ∇
2
e
±ikr − 1
r
+ ∇
2 1
r
=
1
r
d
2
dr 2 e
±ikr − 4πδ( r)
= −k
2 e
±ikr
r
− 4πδ( r)
où nous avons utilisé le fait que la fonction (exp(ikr) − 1)/r est régulière à
r =0et (13.42).
Examinons le comportement de la fonction G
(+)
0 ( r − r
′ ) lorsque r →∞
tandis que r
′ reste fini. Dans cette limite,
| r − r
′ | = r − ˆ
r · r
′ + O
r
′ 2
r
12. Toute combinaison λG (+) +( 1− λ)G (−) + G h ,o ùG h est solution de l’équation
d’ondes homogène, vérifie également (13.59).