13. Théorie de la diffusion
569
Im f = −a 2 et la section efficace totale est très grande par rapport à la section
efficace élastique
σ tot ≃ σ in ≃
4π
k
|a 2 |≫σ el =4πa
2
1
La proportionalité de σ in à 1/k,oubienà1/v,oùv est la vitesse des neutrons
incidents, est un résultat d’une très grande importance : la section efficace
d’absorption des neutrons lents croît en 1/v quand v → 0. Ceci entraîne,
par exemple, que l’on doit ralentir les neutrons pour obtenir des section efficaces importantes de fission de l’uranium dans un réacteur nucléaire. Un autre
exemple est l’utilisation du cadmium pour absorber les neutrons : la longueur
de diffusion est complexe, avec a 1 = −3.8 fm et a 2 = −1.2 fm.
Récrivons le théorème optique en utilisant (13.56)
Im f (θ =0)=
k
4π
|f (Ω)|
2 dΩ −
m
2π 2
Im V ( r)|ψ k ( r)|
2 d
3 r
(13.57)
Cette équation peut être généralisée. Définissons l’amplitude de diffusion
f (kˆ r, k) à partir de la solution (13.9) ψ
(+)
k
( r) de l’équation de Schrödinger
ψ
(+)
k
( r)=e
i k· r + f (kˆ r, k)
e
ikr
r
Comme le potentiel n’est pas supposé invariant par rotation, l’amplitude de
diffusion dépend de ˆ
r et de k, et pas uniquement de k et de l’angle entre ˆ
r et
ˆ
k. Si l’on désigne par k
′ = kˆ r le vecteur d’onde après diffusion,
k
′ = kˆ rf (kˆ r, k)=f ( k
′ , k)
on montre alors la relation d’unitarité qui généralise (13.57)
1
2i
f ( k
′ , k) − f
∗ ( k, k
′ )
=
k
4π
f
∗ (kˆ r, k
′ )f (kˆ r, k) dΩ r
−
m
2π 2
Im V ( r)[ψ
(+)
k ′ ( r)]
∗ ψ
(+)
k
( r)d
3 r (13.58)
La démonstration de cette égalité suit le canevas de celle donnée au § 13.4.2,
et les détails sont renvoyés à l’exercice 13.6.8. L’invariance par renversement
du sens du temps (§ 13.5.5) implique f ( k
′ , k)=f (− k, − k
′ ) et celle par parité
f ( k
′ , k)=f (− k
′ , − k). Si ces deux invariances sont valides, f ( k
′ , k)=f ( k, k
′ )
et
1
2i
f ( k
′ , k) − f
∗ ( k, k
′ )
=Imf ( k
′ , k)
dans (13.58). On retrouve alors (13.57) en prenant k
′ = k.
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Im f = −a 2 et la section efficace totale est très grande par rapport à la section
efficace élastique
σ tot ≃ σ in ≃
4π
k
|a 2 |≫σ el =4πa
2
1
La proportionalité de σ in à 1/k,oubienà1/v,oùv est la vitesse des neutrons
incidents, est un résultat d’une très grande importance : la section efficace
d’absorption des neutrons lents croît en 1/v quand v → 0. Ceci entraîne,
par exemple, que l’on doit ralentir les neutrons pour obtenir des section efficaces importantes de fission de l’uranium dans un réacteur nucléaire. Un autre
exemple est l’utilisation du cadmium pour absorber les neutrons : la longueur
de diffusion est complexe, avec a 1 = −3.8 fm et a 2 = −1.2 fm.
Récrivons le théorème optique en utilisant (13.56)
Im f (θ =0)=
k
4π
|f (Ω)|
2 dΩ −
m
2π 2
Im V ( r)|ψ k ( r)|
2 d
3 r
(13.57)
Cette équation peut être généralisée. Définissons l’amplitude de diffusion
f (kˆ r, k) à partir de la solution (13.9) ψ
(+)
k
( r) de l’équation de Schrödinger
ψ
(+)
k
( r)=e
i k· r + f (kˆ r, k)
e
ikr
r
Comme le potentiel n’est pas supposé invariant par rotation, l’amplitude de
diffusion dépend de ˆ
r et de k, et pas uniquement de k et de l’angle entre ˆ
r et
ˆ
k. Si l’on désigne par k
′ = kˆ r le vecteur d’onde après diffusion,
k
′ = kˆ rf (kˆ r, k)=f ( k
′ , k)
on montre alors la relation d’unitarité qui généralise (13.57)
1
2i
f ( k
′ , k) − f
∗ ( k, k
′ )
=
k
4π
f
∗ (kˆ r, k
′ )f (kˆ r, k) dΩ r
−
m
2π 2
Im V ( r)[ψ
(+)
k ′ ( r)]
∗ ψ
(+)
k
( r)d
3 r (13.58)
La démonstration de cette égalité suit le canevas de celle donnée au § 13.4.2,
et les détails sont renvoyés à l’exercice 13.6.8. L’invariance par renversement
du sens du temps (§ 13.5.5) implique f ( k
′ , k)=f (− k, − k
′ ) et celle par parité
f ( k
′ , k)=f (− k
′ , − k). Si ces deux invariances sont valides, f ( k
′ , k)=f ( k, k
′ )
et
1
2i
f ( k
′ , k) − f
∗ ( k, k
′ )
=Imf ( k
′ , k)
dans (13.58). On retrouve alors (13.57) en prenant k
′ = k.