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Physique quantique : Exercices et applications
et si l’on compare avec l’expression (13.52) de σ tot
σ tot =
4π
k
Imf (θ =0)
(13.54)
Cete relation est le théorème optique, qui relie la section efficace totale à la
partie imaginaire de la diffusion vers l’avant. La démonstration du théorème
met en évidence qu’il découle de la conservation de la probabilité.
13.3.2 Potentiel optique
On peut rendre compte de la diffusion inélastique en introduisant un potentiel complexe dans l’équation de Schrödinger. En effet, si l’on reprend la
démonstration du § 8.2.2 de l’équation de continuité du courant
∇· j =0dans
le cas d’une onde stationnaire ψ k ( r), on s’aperçoit que cette équation n’est
pas satisfaite si le potentiel est complexe
∇· j =
2
Im V ( r)|ψ k ( r)|
2
(13.55)
On retrouve naturellement le résultat
∇· j =0dans le cas du potentiel réel
utilisé au § 8.2.2. Le nombre de particules absorbées par unité de temps est
égal au flux incident multiplié par la section efficace inélastique. Pour calculer
le nombre de particules absorbées, entourons la cible par une sphère de grand
rayon et calculons le flux de j à travers la surface S de cette sphère
−
S
j · d
S = −
V
∇· j d
3 r = −
2
V
Im V ( r)|ψ k ( r)|
2 d
3 r
où V e s tl ev o l u m ed el as p h è r ee tl es i g n e(−) correspond au fait que d
S est
orienté vers l’extérieur. On a donc
σ in = −
2m
2 k
Im V ( r)|ψ k ( r)|
2 d
3 r
(13.56)
où nous avons intégré sur tout l’espace car le potentiel est supposé de portée
finie ou s’annulant suffisamment vite à l’infini. Jusqu’à la fin de cette section,
le potentiel V ( r) est quelconque : il n’est pas nécessairement invariant par
rotation. L’équation (13.56) implique que la partie imaginaire de V ( r) doit
être négative : ImV ( r) ≤ 0. Le potentiel complexe V ( r) de partie imaginaire
négative est appelé potentiel optique. Ce potentiel est utile lorsque l’on ne
s’intéresse pas aux détails des processus inélastiques, mais seulement à leur
répercussion sur les processus élastiques. Il est en particulier très largement
utilisé dans la diffusion neutron-noyau. À basse énergie, on pourra représenter ce potentiel complexe par un potentiel effectif du type (13.41) avec une
longueur de diffusion complexe a = a 1 + ia 2 ,a 2 < 0. Dans ces conditions,
Physique quantique : Exercices et applications
et si l’on compare avec l’expression (13.52) de σ tot
σ tot =
4π
k
Imf (θ =0)
(13.54)
Cete relation est le théorème optique, qui relie la section efficace totale à la
partie imaginaire de la diffusion vers l’avant. La démonstration du théorème
met en évidence qu’il découle de la conservation de la probabilité.
13.3.2 Potentiel optique
On peut rendre compte de la diffusion inélastique en introduisant un potentiel complexe dans l’équation de Schrödinger. En effet, si l’on reprend la
démonstration du § 8.2.2 de l’équation de continuité du courant
∇· j =0dans
le cas d’une onde stationnaire ψ k ( r), on s’aperçoit que cette équation n’est
pas satisfaite si le potentiel est complexe
∇· j =
2
Im V ( r)|ψ k ( r)|
2
(13.55)
On retrouve naturellement le résultat
∇· j =0dans le cas du potentiel réel
utilisé au § 8.2.2. Le nombre de particules absorbées par unité de temps est
égal au flux incident multiplié par la section efficace inélastique. Pour calculer
le nombre de particules absorbées, entourons la cible par une sphère de grand
rayon et calculons le flux de j à travers la surface S de cette sphère
−
S
j · d
S = −
V
∇· j d
3 r = −
2
V
Im V ( r)|ψ k ( r)|
2 d
3 r
où V e s tl ev o l u m ed el as p h è r ee tl es i g n e(−) correspond au fait que d
S est
orienté vers l’extérieur. On a donc
σ in = −
2m
2 k
Im V ( r)|ψ k ( r)|
2 d
3 r
(13.56)
où nous avons intégré sur tout l’espace car le potentiel est supposé de portée
finie ou s’annulant suffisamment vite à l’infini. Jusqu’à la fin de cette section,
le potentiel V ( r) est quelconque : il n’est pas nécessairement invariant par
rotation. L’équation (13.56) implique que la partie imaginaire de V ( r) doit
être négative : ImV ( r) ≤ 0. Le potentiel complexe V ( r) de partie imaginaire
négative est appelé potentiel optique. Ce potentiel est utile lorsque l’on ne
s’intéresse pas aux détails des processus inélastiques, mais seulement à leur
répercussion sur les processus élastiques. Il est en particulier très largement
utilisé dans la diffusion neutron-noyau. À basse énergie, on pourra représenter ce potentiel complexe par un potentiel effectif du type (13.41) avec une
longueur de diffusion complexe a = a 1 + ia 2 ,a 2 < 0. Dans ces conditions,