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Physique quantique : Exercices et applications
diffusion f (Ω) au cas inélastique à condition d’admettre que |S l (k)|≤1.
Cette condition découle de ce que le module de l’amplitude de l’onde sortante
doit être plus petit que celui de l’onde entrante : le nombre de particules N in
entrant dans une sphère de grand rayon r tracée autour de la cible doit être
supérieur à celui N out qui en sort, puisque les particules incidentes peuvent
seulement disparaître dans la diffusion inélastique. Comme nous le montrons
ultérieurement, cette inégalité vaut pour toute onde partielle : N
l
out ≤ N
l
in ,car
l’intégration sur la surface de la sphère élimine les interférences entre ondes
partielles. Si la diffusion est purement élastique dans l’onde l, N
l
in = N
l
out et
|S l (k)| =1 .É v a l u o n sN
l
in et N
l
out en revenant à l’expression asymptotique
r →∞(13.22) de la fonction d’onde. Comme dans la diffusion élastique, seul
le terme d’onde sortante peut être modifié
e
ikr
r
→ S l (k)
e
ikr
r
d’où le comportement asymptotique de ψ( r)
ψ ≃
iA
2kr
∞
l=0
(2l +1)P l (cos θ)
(−1)
l e
−ikr − S l e
ikr
ce qui donne pour f (θ)
f (θ)=
1
2ik
∞
l=0
(2l +1)P l (cos θ)(S l − 1)
La section efficace élastique totale vaut
σ el =
dΩ|f (θ)|
2
et le résultat de l’intégration sur Ω généralise (13.25)
σ el =
π
k 2
∞
l=0
(2l +1)|1 − S l |
2
(13.50)
Calculons le nombre de particules entrantes dans l’onde partielle l, N
l
in ,e n
intégrant le courant entrant sur la surface d’une sphère de rayon r →∞
autour de la cible. Comme les polynômes de Legendre sont orthogonaux, il
n’y a pas de termes d’interférences entre les différentes ondes partielles. On
trouve
N
l
in =
(2l +1)
2 |A|
2
4k 2
2
2l +1
k
m
[2π]=
π(2l +1)|A|
2
mk
Le premier terme vient de la normalisation de |ψ|
2 , le second de la relation
d’orthogonalité des polynômes de Legendre, le troisième de l’expression du
Physique quantique : Exercices et applications
diffusion f (Ω) au cas inélastique à condition d’admettre que |S l (k)|≤1.
Cette condition découle de ce que le module de l’amplitude de l’onde sortante
doit être plus petit que celui de l’onde entrante : le nombre de particules N in
entrant dans une sphère de grand rayon r tracée autour de la cible doit être
supérieur à celui N out qui en sort, puisque les particules incidentes peuvent
seulement disparaître dans la diffusion inélastique. Comme nous le montrons
ultérieurement, cette inégalité vaut pour toute onde partielle : N
l
out ≤ N
l
in ,car
l’intégration sur la surface de la sphère élimine les interférences entre ondes
partielles. Si la diffusion est purement élastique dans l’onde l, N
l
in = N
l
out et
|S l (k)| =1 .É v a l u o n sN
l
in et N
l
out en revenant à l’expression asymptotique
r →∞(13.22) de la fonction d’onde. Comme dans la diffusion élastique, seul
le terme d’onde sortante peut être modifié
e
ikr
r
→ S l (k)
e
ikr
r
d’où le comportement asymptotique de ψ( r)
ψ ≃
iA
2kr
∞
l=0
(2l +1)P l (cos θ)
(−1)
l e
−ikr − S l e
ikr
ce qui donne pour f (θ)
f (θ)=
1
2ik
∞
l=0
(2l +1)P l (cos θ)(S l − 1)
La section efficace élastique totale vaut
σ el =
dΩ|f (θ)|
2
et le résultat de l’intégration sur Ω généralise (13.25)
σ el =
π
k 2
∞
l=0
(2l +1)|1 − S l |
2
(13.50)
Calculons le nombre de particules entrantes dans l’onde partielle l, N
l
in ,e n
intégrant le courant entrant sur la surface d’une sphère de rayon r →∞
autour de la cible. Comme les polynômes de Legendre sont orthogonaux, il
n’y a pas de termes d’interférences entre les différentes ondes partielles. On
trouve
N
l
in =
(2l +1)
2 |A|
2
4k 2
2
2l +1
k
m
[2π]=
π(2l +1)|A|
2
mk
Le premier terme vient de la normalisation de |ψ|
2 , le second de la relation
d’orthogonalité des polynômes de Legendre, le troisième de l’expression du