Chapitre 4
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posée comme nulle à température nulle (𝑢 = 0 J kg
−1 lorsque 𝑇 = 0 K), on
obtient :
𝑢 = 𝑐 𝑣 𝑇
(4/11)
pour tout gaz parfait,
quelle que soit l’évolution (réversible ou non),
où 𝑢 est l’énergie interne spécifique (J kg
−1 ) ;
𝑇 est la température (K) ;
et 𝑐 𝑣 est la capacité calorifique massique à volume constant (J kg
−1 K
−1 ).
« La différence entre les moyennes
des expansions et des expériencestémoin étant exactement telle que ce
que à quoi nous avons attribué l’effet
croissant de la température ambiante
dans le dernier cas, nous arrivons à la
conclusion qu’il n’y a pas de changement de température lorsque l’on laisse
l’air se détendre d’une façon telle qu’il
ne développe pas de puissance mécanique. »
James Prescott Joule, 1845 [8]
Pour une masse 𝑚 de gaz parfait, on a bien sûr :
𝑈 = 𝑚 𝑐 𝑣 𝑇
(4/12)
Tant que notre fluide se comporte comme un gaz parfait, cette relation 4/11
reste vraie. Elle fonctionne pendant toute évolution, réversible ou non, et
quelles que soient les contraintes de volume, de pression ou de température.
Par contre, il faut bien noter que cette équation 4/11, qui découle de la loi de
Joule, n’est pas du tout valable dans le cas des liquides et vapeurs. On peut,
par exemple, ajouter de l’énergie à une masse d’eau bouillante, sans que sa
température n’augmente. Nous étudierons les liquides et vapeurs dans le
chapitre 5.
Exemple 4.3
La chaleur massique à volume constant de l’air est mesurée à 𝑐 𝑣 (air) =
718 J kg
−1 K −1 .
On prend une masse de 0,5 kg d’air à 20 ◦ C et on lui transfère +15 kJ
sous forme de chaleur et −10 kJ sous forme de travail. Quelle est sa
température finale ?
Nous savons que l’énergie a varié avec les transferts : Δ𝑈 = 𝑊 A→B +
𝑄 A→B = 𝑚 𝑐 𝑣 Δ𝑇 . Ainsi, la température a varié en proportion : 𝑇 B =
𝑇 A +
Δ𝑈
𝑚 𝑐 𝑣
= 𝑇 A +
𝑊 A→B +𝑄 A→B
𝑚 𝑐 𝑣
= 20 +
−10⋅10 3 +(+15⋅10 3 )
0,5×718
= 33,92 ◦ C.
Sacré James ! Il nous suffit de quantifier les variations d’énergie
pour connaître la température, et vice-versa.
Ici les températures ne sont qu’additionnées et une conversion
en kelvins n’aurait pas modifié le résultat. En cas de doute, il vaut
mieux ne pas prendre ce raccourci.
4.3.3 Enthalpie d’un gaz parfait
Parce que nous venons de lier l’énergie interne 𝑢 à la température et que le
produit 𝑝𝑣 dépend lui aussi de la température, nous pouvons désormais facilement exprimer l’enthalpie ℎ d’un gaz parfait en fonction de la température
uniquement.
En effet, nous avons ℎ ≡ 𝑢 + 𝑝𝑣 (3/12) ; avec une rapide insertion des
équations 4/1 et 4/11 nous pouvons écrire, pour tout gaz parfait :
ℎ = 𝑢 + 𝑝𝑣 = 𝑐 𝑣 𝑇 + 𝑅𝑇 = (𝑐 𝑣 + 𝑅) 𝑇
(4/13)
https://thermodynamique.fr – CC-by-sa Olivier Cleynen