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Chapitre 4
pression. On obtient ainsi les trois relations :
(
𝑇 1
𝑇 2 )
=
(
𝑣 2
𝑣 1 )
𝛾−1
(4/36)
(
𝑇 1
𝑇 2 )
=
(
𝑝 1
𝑝 2 )
𝛾−1
𝛾
(4/37)
(
𝑝 1
𝑝 2 )
=
(
𝑣 2
𝑣 1 )
𝛾
(4/38)
pour toute évolution adiabatique réversible.
Cette dernière équation 4/38 équivaut à l’expression :
𝑝𝑣
𝛾 = constante
(4/39)
pour toute évolution adiabatique réversible.
Nous disposons donc d’une relation simple entre pression et volume pour un
gaz parfait suivant une évolution réversible adiabatique. Remarquons une
dernière fois que, même si par définition aucune chaleur n’est transférée, la
température varie systématiquement, comme l’indique la relation 4/36.
Exemple 4.8
Pour l’air, on mesure 𝑐 𝑝 (air) = 1 005 J kg
−1 K −1 , 𝑐 𝑣 (air) = 718 J kg
−1 K −1 ,
𝑅 air = 287 J kg
−1 K −1 , et 𝛾 air = 1,4.
Un réservoir d’air comprimé de 200 L contient de l’air à 40 bar et 50 ◦ C.
L’atmosphère ambiante est à 1 bar. Quelle est la quantité maximale
de travail que l’on peut extraire de l’air comprimé sans lui fournir de
chaleur ?
Le travail maximal sera obtenu si la détente est réversible. Comme nous
ne pouvons pas apporter de chaleur, notre meilleure option est donc
ici d’effectuer une détente adiabatique réversible depuis 40 bar jusqu’à
1 bar.
Nous voulons calculer la température finale, car c’est elle qui nous
donnera la variation d’énergie, donc le travail perdu par le gaz. Des trois
intimidantes relations 4/36 à 4/38, c’est la seconde qui nous intéresse :
(
𝑇 A
𝑇 B ) = (
𝑝 A
𝑝 B )
𝛾−1
𝛾
. Ainsi : 𝑇 B = 𝑇 A (
𝑝 A
𝑝 B )
−
𝛾−1
𝛾
= (50 + 273,15) (
40
1 )
−
1,4−1
1,4 =
112,6 K = −160,5 ◦ C.
Le travail effectué par le système fermé constitué par le gaz est donc
𝑤 A→B = Δ𝑢 − 𝑞 A→B = 𝑐 𝑣 Δ𝑇 − 0 = 718 × (−160,5 − 50) = −1,5115 ⋅
10 5 J kg
−1 = −151,1 kJ kg
−1 .
En calculant la masse 𝑚 A =
𝑝 A 𝑉 A
𝑅 𝑇 A
=
40⋅10 5 ×0,2
287× (50+273,15) = 8,626 kg, nous
obtenons 𝑊 A→B = 𝑚 A 𝑤 A→B = 8,626 × −151,1 ⋅ 10 3 = −1,3038 ⋅ 10 6 J =
−1,304 MJ.
Cela représente suffisamment d’énergie pour accélérer sans
frottement un véhicule de 1 t jusqu’à une vitesse 𝐶 = [
1,3038⋅10 6
1
2 ×1 000 ]
0,5
=
51,1 m s −1 ≈ 180 km/h.
Thermodynamique de l’ingénieur par Olivier Cleynen