Chapitre 4
103
Lorsque l’évolution se fait en système ouvert, nous avons 𝑞 1→2 + 𝑤 1→2 = Δℎ
et nous pouvons de même écrire :
𝑞 1→2 = 0
(4/33)
𝑤 1→2 = 𝑐 𝑝 Δ𝑇
(4/34)
lors d’une évolution adiabatique réversible, en système ouvert.
Malheureusement, ces deux équations 4/32 et 4/34 ne sont d’aucune utilité
tant que l’on a pas prédit la température 𝑇 2 à la fin de l’évolution. Or, dans
une évolution adiabatique réversible, rien ne reste constant : le volume
spécifique, la pression et la température varient tous les trois. Comment
quantifier ces propriétés ?
Partons d’une évolution adiabatique infiniment petite dans un système
fermé. Lorsque l’évolution est réversible, δ𝑤 = −𝑝 d𝑣 et alors :
δ𝑞 = d𝑢 − δ𝑤 = 0
d𝑢 + 𝑝 d𝑣 = 0
Comme d𝑢 = 𝑐 𝑣 d𝑇 pour un gaz parfait et que 𝑝 = 𝑅𝑇 /𝑣, on peut ré-écrire
cette équation ainsi :
𝑐 𝑣 d𝑇 +
𝑅𝑇
𝑣
d𝑣 = 0
1
𝑇
d𝑇 +
𝑅
𝑐 𝑣
1
𝑣
d𝑣 = 0
En intégrant entre deux états 1 et 2 :
ln
(
𝑇 2
𝑇 1 )
+
𝑅
𝑐 𝑣
ln
(
𝑣 2
𝑣 1 )
= 0
ln
(
𝑇 2
𝑇 1 )
+ ln
(
𝑣 2
𝑣 1 )
𝑅
𝑐𝑣
= 0
ln
(
𝑇 2
𝑇 1 )
= ln
(
𝑣 1
𝑣 2 )
𝑅
𝑐𝑣
(4/35)
Et comme 𝑅 = 𝑐 𝑝 − 𝑐 𝑣 (4/8) et 𝛾 ≡ 𝑐 𝑝 /𝑐 𝑣 (4/9), on a
𝑅
𝑐 𝑣
= 𝛾 − 1, ce qui permet
de reformuler l’équation 4/35 ci-dessus :
(
𝑇 2
𝑇 1 )
=
(
𝑣 1
𝑣 2 )
𝛾−1
Nous avons donc lié température et volume spécifique lorsque l’évolution
est adiabatique réversible (privée de transfert de chaleur et infiniment lente).
Quelques manipulations algébriques, qu’il est laissé à l’étudiant/e le soin
de réviser, nous permettent de décliner cette expression en fonction de la
https://thermodynamique.fr – CC-by-sa Olivier Cleynen