9.3 EXEMPLE DE RENORMALISATION
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Exercice 9.5.
1. Donner une solution graphique de l'Eq. 9.3. En deduire Pc·
2. Dessiner pour z = 3 la courbe P(p)
3. Montrer que la courbe P(p) est d'autant plus raide que zest grand.
9.3 Exemple de renormalisation
L'universalite et l'invariance d'echelle (notions qui s'appliquent a bien d'autres systemes physiques que la percolation) vont donner naissance a la theorie du groupe
de renormalisation developpee par Kenneth Wilson, qui a partir des annees 1970 va
bouleverser la physique theorique. L'invariance d'echelle, qui n'existe que pour p = Pc,
signifie que si l'on considere une fraction seulement de l'amas percolant et qu'on
l'agrandit pour retrouver les dimensions de l'image originale, les deux figures sont
similaires (les plus gros amas percolent et leur dimension fractale est la meme). La
theorie de la renormalisation fournit une procedure pour evaluer Pc· Elle sort du cadre
de cet ouvrage. Nous nous contenterons d'une illustration intuitive.
RF=l
LJ~
R~~
~~~
~
~
p' (l-p/
FIGURE 9.2. «Decimation» d'un quarteron de sites de probabilite d'occupation p.
On considere une percolation de sites sur un reseau carre et l' on choisit une
probabilite p d'occupation des sites. On
les sites par paquets, et de remplacer chaque paquet par un supersite occupe avec une
probabilite egale a la probabilite que le paquet soit percolant. Considerons par exemple
des paquets de 4 sites formant carre. La probabilite p1 qu'un paquet soit percolant de
gauche a droite s'obtient en considerant tousles cas favorables, cf. Fig. 9.2. On a done:
p, = 2p 2 (1-p)2 +4p3(1-p) + p4 = p 2 (1-p)2 = f(p)
On considere maintenant un nouveau reseau carre compose de supersites occupes
avec cette nouvelle probabilite p1• Ce reseau contient evidemment 4 fois moins de sites
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Exercice 9.5.
1. Donner une solution graphique de l'Eq. 9.3. En deduire Pc·
2. Dessiner pour z = 3 la courbe P(p)
3. Montrer que la courbe P(p) est d'autant plus raide que zest grand.
9.3 Exemple de renormalisation
L'universalite et l'invariance d'echelle (notions qui s'appliquent a bien d'autres systemes physiques que la percolation) vont donner naissance a la theorie du groupe
de renormalisation developpee par Kenneth Wilson, qui a partir des annees 1970 va
bouleverser la physique theorique. L'invariance d'echelle, qui n'existe que pour p = Pc,
signifie que si l'on considere une fraction seulement de l'amas percolant et qu'on
l'agrandit pour retrouver les dimensions de l'image originale, les deux figures sont
similaires (les plus gros amas percolent et leur dimension fractale est la meme). La
theorie de la renormalisation fournit une procedure pour evaluer Pc· Elle sort du cadre
de cet ouvrage. Nous nous contenterons d'une illustration intuitive.
RF=l
LJ~
R~~
~~~
~
~
p' (l-p/
FIGURE 9.2. «Decimation» d'un quarteron de sites de probabilite d'occupation p.
On considere une percolation de sites sur un reseau carre et l' on choisit une
probabilite p d'occupation des sites. On
les sites par paquets, et de remplacer chaque paquet par un supersite occupe avec une
probabilite egale a la probabilite que le paquet soit percolant. Considerons par exemple
des paquets de 4 sites formant carre. La probabilite p1 qu'un paquet soit percolant de
gauche a droite s'obtient en considerant tousles cas favorables, cf. Fig. 9.2. On a done:
p, = 2p 2 (1-p)2 +4p3(1-p) + p4 = p 2 (1-p)2 = f(p)
On considere maintenant un nouveau reseau carre compose de supersites occupes
avec cette nouvelle probabilite p1• Ce reseau contient evidemment 4 fois moins de sites