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CHAPITRE 9. PERCOLATION
A la limited~ oo, Ns devient proportionnel a N, comme clans l'arbre de Caley. Voila
pourquoi l'arbre de Caley est qualifie de modele ad infini.
Exercice 9.3. Demontrer l'Eq. 9.2.
Exercice 9.4. [AD] On cherche a calculer la probabilite critique Pc de percolation
de sites clans le modele de Bethe.
1. Calculer le nombre moyen de chemins reliant un site deja occupe a un site
de la generation suivante.
2. En deduire le nombre moyen de chemins reliant un site deja occupe a un site
de la nieme generation suivante.
3 E
"d'
I 1· .
1
. n cons1 erant a 1m1te n ~ oo, montrer que Pc = --.
z-1
9.2 Percolation en champ moyen
Considerons une percolation de liens de parametre p. On veut calculer la probabilite Pi
qu'un lien issu du site k fasse partie de l'amas percolant. Nous allons calculer de deux
fac;:ons differentes la probabilite qu'un lien issu d'un site i arbitraire ne fasse pas partie
de l'amas percolant. D'une part, c'est evidemment I-Pi. D'autre part, ce lien ne fait
pas partie de l'amas percolant si et si seulement il n'est relie a aucun site faisant partie
de cet amas. Soit j(i) les indices des sites voisins du site i. La probabilite pour qu'il
en soit ainsi est 1-pPj pour tousles sites j(i). Et done si on suppose ces probabilites
independantes (approximation du champ moyen)
I-Pi= n (1-pPJ
j(i)
Les sites jouant des roles equivalents, Pi ne depend pas de i et done on peut ecrire
1-P = (l-pP)2,
(9.3)
ou z (la coordinence) est le nombre de plus proches voisins de chaque site. L'Eq. 9.3 est
une equation auto-coherente (selfconsistent, en anglais) 4 .
4 C'est !'analogue de !'equation du modele d'Ising en champ moyen (voir !'Ex. 7.12 ) qui donne la
magnetisation :
m = tanhj3(Jqm + B).