9.1 MODELE DE BETHE
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2. Calculer la probabilite pour qu'un site pris au hasard soit element d'un amas
de taille s.
3. Commenter la somme des probabilites des questions 1 et 2.
4. Calculer la probabilite qu'un amas tire au hasard ait une taille s. Que vaut s?
Y-a-t-il un p critique, Pc? (Par« au hasard » on signifie ici qu' on a choisi de
fa<;:on equiprobable un amas parmi tous les amas, independamment de sa
taille par exemple. Ce ne serait pas le cas si on avait choisi l'amas en tirant au
hasard un de ses sites.)
9.1 Modele de Bethe
Ce qui rend les calculs de percolation compliques sont les boucles qui apparaissent des
que p est suffisamment grand. Le modele de Bethe utilise un reseau en arbre de Caley
dessine sur la Fig. 9.1 les evite. C'est une generalisation de la percolation a ld.
FIGURE 9.1. Arbre de Caley avec une coordinence z = 4 et un nombre de
generations n = 3.
11 est facile de montrer (Cf. Ex. 9.3) que le nombre de sites total de ce reseau est
z(z-1) 11 - 1 -2
N=
,
z-2
(9.2)
si n est le nombre de generations ( cette formule est encore vraie, par continuite, pour
z = 2). Le nombre de sites a la surface Ns est z(z-1) 11 - 2 , done a la limite N - oo
(qui implique n - oo ), le quotient du nombre de sites en surface et en volume est
Ns/N - (z-2)/(z- l), independant de N.
Dans un reseau lineaire, carre ou cubique de dimension caracteristique R, ce
rapport depend de la dimension d de l' espace. En effet, le nombre de sites total est
proportionnel au volume V, lui-meme proportionnel a Rd, le nombre de sites de
surface est en Rd-I, et l'on a done:
Ns v-1
- -
d
N