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CHAPITRE 9. PERCOLATION
du parametre de controle, la distribution en taille des fragments obeit a une loi de
pmssance
1
n(s) - ~,
s
ou T (comme d') ne depend pas du reseau, mais seulement de la dimension de l'espace:
T = 187 /91 pour d = 2 et T ~ 2.18 pour d = 3. C'est un exposant universe!, comme
d'. L' exercice qui suit definit la notion de loi d' echelle et perm et de voir qu'une loi de
puissance n'a pas d'echelle (voir l'Ex. 9.1).
Exercice 9.1. On dit d'une loi de distribution p(x) qu' elle n' a pas de loi d' echelle si
pour tout b il existe une fonction g( b) telle que
p(bx) = g(b)p(x).
(9.1)
Montrer que seule la loi de puissance verifie cette condition.
Indication. Faire successivement b = 1 clans l'Eq. 9.1, puis clans sa derivee par
rapport ab.
La percolation ne releve pas a proprement parler d'un probleme de mecanique
statistique (il n'y a pas d'hamiltonien), mais c'est un probleme de physique statistique:
on ne sait repondre qu'en terme de valeurs moyennes (par exemple combien y a-t-il
d'amas, ou d'amas de taille donnee s, etc.) quand on effectue (en principe) une infinite
d' epreuves.
L'analogue avec le modele d'Ising a champ magnetique nul est frappant: quand,B
(parametre de controle) devient inferieur a/30 la magnetisation moyenne (parametre
d'ordre) m s'annule; ici c'est Sm/S qui passe brusquement a O quand p < Pc· Ces
« accidents » font partie d'une classe generale de phenomenes appeles « transition de
phase» 3 •
II y a peu de resultats exacts en percolation, sauf bien sur a une dimension. La
percolation a generalement lieu sur un reseau. On appellera ici z sa coordinence ( elle
est notee q clans le modele d'Ising), c'est-a-dire le nombre de plus proches voisins d'un
site donne.
Exercice 9.2. Percolation de sites sur la droite avec N sites. On negligera les effets
de bords.
1. Calculer la probabilite pour qu'un site pris au hasard soit extremite gauche
d'un amas de taille s.
3 Du second ordre, pour Jes connaisseurs.
CHAPITRE 9. PERCOLATION
du parametre de controle, la distribution en taille des fragments obeit a une loi de
pmssance
1
n(s) - ~,
s
ou T (comme d') ne depend pas du reseau, mais seulement de la dimension de l'espace:
T = 187 /91 pour d = 2 et T ~ 2.18 pour d = 3. C'est un exposant universe!, comme
d'. L' exercice qui suit definit la notion de loi d' echelle et perm et de voir qu'une loi de
puissance n'a pas d'echelle (voir l'Ex. 9.1).
Exercice 9.1. On dit d'une loi de distribution p(x) qu' elle n' a pas de loi d' echelle si
pour tout b il existe une fonction g( b) telle que
p(bx) = g(b)p(x).
(9.1)
Montrer que seule la loi de puissance verifie cette condition.
Indication. Faire successivement b = 1 clans l'Eq. 9.1, puis clans sa derivee par
rapport ab.
La percolation ne releve pas a proprement parler d'un probleme de mecanique
statistique (il n'y a pas d'hamiltonien), mais c'est un probleme de physique statistique:
on ne sait repondre qu'en terme de valeurs moyennes (par exemple combien y a-t-il
d'amas, ou d'amas de taille donnee s, etc.) quand on effectue (en principe) une infinite
d' epreuves.
L'analogue avec le modele d'Ising a champ magnetique nul est frappant: quand,B
(parametre de controle) devient inferieur a/30 la magnetisation moyenne (parametre
d'ordre) m s'annule; ici c'est Sm/S qui passe brusquement a O quand p < Pc· Ces
« accidents » font partie d'une classe generale de phenomenes appeles « transition de
phase» 3 •
II y a peu de resultats exacts en percolation, sauf bien sur a une dimension. La
percolation a generalement lieu sur un reseau. On appellera ici z sa coordinence ( elle
est notee q clans le modele d'Ising), c'est-a-dire le nombre de plus proches voisins d'un
site donne.
Exercice 9.2. Percolation de sites sur la droite avec N sites. On negligera les effets
de bords.
1. Calculer la probabilite pour qu'un site pris au hasard soit extremite gauche
d'un amas de taille s.
3 Du second ordre, pour Jes connaisseurs.