CHAPITRE 9
Percolation
L
E MODELE de percolation 1 est relativement peu enseigne; comme c'est regrettable
au vu de son inten~t theorique et pratique, nous allons en presenter une breve
introduction. La percolation est un exemple de transition de phase purement geometrique. Donnons deux exemples typiques :
- On considere un reseau metallique plus ou mains rouille. Soit p la probabilite
qu'une maille soit conductrice, 1-p qu' elle ne le soit plus. Si le reseau est infini,
il existe une probabilite critique, p0 telle que sip > Pc, le reseau entier devient
conducteur. En d'autres termes des que p devient inferieur a Pc (meme de tres
peu) il ya un changement dramatique: de conducteur, le reseau passe a isolant.
On considere un melange de limaille de fer et de sucre. Soit q la probabilite
qu'un grain de matiere soit du fer. Des que q est superieur a un certain qc, ce
melange devient conducteur.
Le premier exemple est celui d'une percolation de liens. 11 yen a bien d'autres :
liaisons telephoniques, approvisionnements, gelification, appartiennent a cette categorie. Le deuxieme exemple est une percolation de sites (apparition d'iles en cas
d'inondations). La distinction n'est pas toujours evidente (propagation d'epidemies,
de feux de forets ... ). La percolation definit des amas, ensembles de liens actifs (generalement) entre plus proches voisins ou de sites (plus proches voisins) occupes. Dans
tousles cas on peut definir un parametre de controle (p ou q) et un parametre d'ordre,
qui est generalement le quotient de la taille du plus gros amas Sm et de la taille du
systeme S. Dans un systeme infini, le parametre d'ordre croit brusquement de zero a
des valeurs finies des que le parametre de controle depasse une valeur critique. Des
que Sm/ S devient non nul, le plus gros amas devient percolant 2 , c'est-a-dire qu'il passe
d'un bord a l'autre du systeme. Juste au seuil de percolation, cet amas a une structure
fractale: le nombre de sites (ou de liens actifs) de cet amas contenus clans une boite de
cote R croit comme Rd', ou d' -:f:. d, dimension de l'espace. Par exemple d' = 91/48 a 2
dimensions et :::, 2.3 a 3 dimensions. On montre egalement que pour la valeur critique
1 L'ouvrage de base est Introduction to percolation theory, par D. Stauffer et A. Aharony, Taylor and Francis,
Londres 1994.
2 On peut montrer qu'il est unique.
Percolation
L
E MODELE de percolation 1 est relativement peu enseigne; comme c'est regrettable
au vu de son inten~t theorique et pratique, nous allons en presenter une breve
introduction. La percolation est un exemple de transition de phase purement geometrique. Donnons deux exemples typiques :
- On considere un reseau metallique plus ou mains rouille. Soit p la probabilite
qu'une maille soit conductrice, 1-p qu' elle ne le soit plus. Si le reseau est infini,
il existe une probabilite critique, p0 telle que sip > Pc, le reseau entier devient
conducteur. En d'autres termes des que p devient inferieur a Pc (meme de tres
peu) il ya un changement dramatique: de conducteur, le reseau passe a isolant.
On considere un melange de limaille de fer et de sucre. Soit q la probabilite
qu'un grain de matiere soit du fer. Des que q est superieur a un certain qc, ce
melange devient conducteur.
Le premier exemple est celui d'une percolation de liens. 11 yen a bien d'autres :
liaisons telephoniques, approvisionnements, gelification, appartiennent a cette categorie. Le deuxieme exemple est une percolation de sites (apparition d'iles en cas
d'inondations). La distinction n'est pas toujours evidente (propagation d'epidemies,
de feux de forets ... ). La percolation definit des amas, ensembles de liens actifs (generalement) entre plus proches voisins ou de sites (plus proches voisins) occupes. Dans
tousles cas on peut definir un parametre de controle (p ou q) et un parametre d'ordre,
qui est generalement le quotient de la taille du plus gros amas Sm et de la taille du
systeme S. Dans un systeme infini, le parametre d'ordre croit brusquement de zero a
des valeurs finies des que le parametre de controle depasse une valeur critique. Des
que Sm/ S devient non nul, le plus gros amas devient percolant 2 , c'est-a-dire qu'il passe
d'un bord a l'autre du systeme. Juste au seuil de percolation, cet amas a une structure
fractale: le nombre de sites (ou de liens actifs) de cet amas contenus clans une boite de
cote R croit comme Rd', ou d' -:f:. d, dimension de l'espace. Par exemple d' = 91/48 a 2
dimensions et :::, 2.3 a 3 dimensions. On montre egalement que pour la valeur critique
1 L'ouvrage de base est Introduction to percolation theory, par D. Stauffer et A. Aharony, Taylor and Francis,
Londres 1994.
2 On peut montrer qu'il est unique.