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CHAPITRE 9. PERCOLATION
que le reseau initial : on
supersites auront une probabilite d'occupation P2 obtenue par la meme equation (9.5)
en changeant pen Pi et Pi en p2• En poursuivant la procedure de decimation, on
trouve:
Pn+i = f(Pn)
avec, au bout d'un certain nombre de decimations, un seul supersite occupe ou pas
(puisque qu'on part d'un reseau fini), cf. Fig. 9.3 .
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FIGURE 9.3. Sur ce reseau carre, chaque decimation divise le nombre de sites
par 4. On est parti d'un reseau de 64 sites noirs a un reseau de 16 supersites
blancs, puis 4 supersites (noirs) et finalement un seul supersite.
Nous allons voir a present que l'un des points fixes de cette transformation
donne une approximation de Pc· En effet, ces points fixes sont solutions de !'equation
p* = f(p*). Les valeurs p; = 0 et p; = 1 sont des points fixes stables, et p; = 0, 5( VS-1)""
0, 618 est un point fixe instable 5. Cela signifie que si l' on demarre avec une valeur de p
legerement inferieure a p;, les decimations successives vont conduire a un supersite
unique non occupe, done non-percolant, alors que si l'on demarre avec une valeur de
p legerement superieure a p;, elles conduiront a un supersite occupe, done percolant.
On voit que p; est une valeur critique qu'on peut penser proche de Pc· En fait, la
valeur 0,618 approche a 4% le resultat de simulations sur des reseaux gigantesques
(Pc= 0,59275). On aurait ameliore le resultat (0,609) en groupant !es sites 9 par 9 (en
groupant taus les sites, on obtient le resultat exact!).
On comprend pourquoi on trouve p; > Pc : la procedure choisie exige que chaque
paquet soit percolant de gauche a droite. Or l'amas percolant exact peut tres bien
contenir des paquets qui percolent vers le haut ou vers le bas avant de reprendre la
direction gauche-droite.
5 On calcule la position de lf'(p')I par rapport al, voir l'appendice mathematique.
CHAPITRE 9. PERCOLATION
que le reseau initial : on
supersites auront une probabilite d'occupation P2 obtenue par la meme equation (9.5)
en changeant pen Pi et Pi en p2• En poursuivant la procedure de decimation, on
trouve:
Pn+i = f(Pn)
avec, au bout d'un certain nombre de decimations, un seul supersite occupe ou pas
(puisque qu'on part d'un reseau fini), cf. Fig. 9.3 .
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FIGURE 9.3. Sur ce reseau carre, chaque decimation divise le nombre de sites
par 4. On est parti d'un reseau de 64 sites noirs a un reseau de 16 supersites
blancs, puis 4 supersites (noirs) et finalement un seul supersite.
Nous allons voir a present que l'un des points fixes de cette transformation
donne une approximation de Pc· En effet, ces points fixes sont solutions de !'equation
p* = f(p*). Les valeurs p; = 0 et p; = 1 sont des points fixes stables, et p; = 0, 5( VS-1)""
0, 618 est un point fixe instable 5. Cela signifie que si l' on demarre avec une valeur de p
legerement inferieure a p;, les decimations successives vont conduire a un supersite
unique non occupe, done non-percolant, alors que si l'on demarre avec une valeur de
p legerement superieure a p;, elles conduiront a un supersite occupe, done percolant.
On voit que p; est une valeur critique qu'on peut penser proche de Pc· En fait, la
valeur 0,618 approche a 4% le resultat de simulations sur des reseaux gigantesques
(Pc= 0,59275). On aurait ameliore le resultat (0,609) en groupant !es sites 9 par 9 (en
groupant taus les sites, on obtient le resultat exact!).
On comprend pourquoi on trouve p; > Pc : la procedure choisie exige que chaque
paquet soit percolant de gauche a droite. Or l'amas percolant exact peut tres bien
contenir des paquets qui percolent vers le haut ou vers le bas avant de reprendre la
direction gauche-droite.
5 On calcule la position de lf'(p')I par rapport al, voir l'appendice mathematique.