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CHAPITRE 8. MOUVEMENT BROWNIEN ET AON
Que vaut la constante de normalisation Z? Montrer qu' elle ne differe de la
fonction de partition canonique que par un facteur multiplicatif independant
de la force, et qu'on ne cherchera pas a calculer. C'est ce qu'on appelle la
fonction de partition de configuration, qu' on nommera tout simplement
fonction de partition clans la suite.
4. Comment peut on deduire la valeur moyenne < cos() > de la dependance de
Z clans la force F? Calculer !'altitude moyenne < z >= b du point
M. Donner !'allure qualitative des courbes < z > en fonction de F pour deux
temperatures T, < T2.
II. Mesures de forces : mouvement brownien
[PD] On s'interesse maintenant a une chaine de plusieurs µm de long, qui
n'est plus un batonnet rigide, mais se comporte maintenant comme un objet
elastique, dont on va chercher a mesurer l' elasticite. Pour ce faire, on ancre la
chaine d'ADN d'un cote a une plaque de verre, sur un point origine 0, l'autre cote
etant attache a une petite bille magnetique sur laquelle on peut tirer a l'aide d'un
gradient de champ magnetique. Celui-ci cree sur la bille une force verticale F = Fz
(Fig. 8.2), que nous supposerons constante clans le domaine ou se deplace la bille.
Le probleme est alors de mesurer cette force, ce que l'on peut effectuer en pratique
en etudiant le mouvement Brownien de la bille, comme nous allons le voir ici.
La molecule d'ADN cree une force de rappel radiale Fr(d) qui depend de son
elongation d de maniere en general non lineaire. La courbe F,.(d),
position d'equilibre se situe au point req = (O, O,f) ou e est tel que F = Fr(e).
1. On s'interesse a des deplacements de la bille de faible amplitude au voisinage
de cette position d'equilibre. Lorsque la bille est en r = (x,y, e + h), quelle est
I' expression de la force to tale F101 s' exen;:ant sur elle, au premier ordre clans
chacun des rapports x/e,y;e,z;e, a l'aide de la fonction Fr(d)?
2. Montrer que Frot derive d'un potentiel U (Frot = -VU), ou U est un potentiel
harmonique anisotrope :
1
2
1
2
2
U=2k11h +2k1.(X +y ).
(8.6)
Que valent les constantes elastiques k11 et k-1.?
3. Ce systeme etant a l'equilibre a la temperature T, quelle est la densite de
probabilite des fluctuations de position r-req = (x,y,h) autour de la position
d'equilibre?
CHAPITRE 8. MOUVEMENT BROWNIEN ET AON
Que vaut la constante de normalisation Z? Montrer qu' elle ne differe de la
fonction de partition canonique que par un facteur multiplicatif independant
de la force, et qu'on ne cherchera pas a calculer. C'est ce qu'on appelle la
fonction de partition de configuration, qu' on nommera tout simplement
fonction de partition clans la suite.
4. Comment peut on deduire la valeur moyenne < cos() > de la dependance de
Z clans la force F? Calculer !'altitude moyenne < z >= b
M. Donner !'allure qualitative des courbes < z > en fonction de F pour deux
temperatures T, < T2.
II. Mesures de forces : mouvement brownien
[PD] On s'interesse maintenant a une chaine de plusieurs µm de long, qui
n'est plus un batonnet rigide, mais se comporte maintenant comme un objet
elastique, dont on va chercher a mesurer l' elasticite. Pour ce faire, on ancre la
chaine d'ADN d'un cote a une plaque de verre, sur un point origine 0, l'autre cote
etant attache a une petite bille magnetique sur laquelle on peut tirer a l'aide d'un
gradient de champ magnetique. Celui-ci cree sur la bille une force verticale F = Fz
(Fig. 8.2), que nous supposerons constante clans le domaine ou se deplace la bille.
Le probleme est alors de mesurer cette force, ce que l'on peut effectuer en pratique
en etudiant le mouvement Brownien de la bille, comme nous allons le voir ici.
La molecule d'ADN cree une force de rappel radiale Fr(d) qui depend de son
elongation d de maniere en general non lineaire. La courbe F,.(d),
position d'equilibre se situe au point req = (O, O,f) ou e est tel que F = Fr(e).
1. On s'interesse a des deplacements de la bille de faible amplitude au voisinage
de cette position d'equilibre. Lorsque la bille est en r = (x,y, e + h), quelle est
I' expression de la force to tale F101 s' exen;:ant sur elle, au premier ordre clans
chacun des rapports x/e,y;e,z;e, a l'aide de la fonction Fr(d)?
2. Montrer que Frot derive d'un potentiel U (Frot = -VU), ou U est un potentiel
harmonique anisotrope :
1
2
1
2
2
U=2k11h +2k1.(X +y ).
(8.6)
Que valent les constantes elastiques k11 et k-1.?
3. Ce systeme etant a l'equilibre a la temperature T, quelle est la densite de
probabilite des fluctuations de position r-req = (x,y,h) autour de la position
d'equilibre?