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CHAPITRE 8. MOUVEMENT BROWNIEN ET ADN
8.1 Marche aleatoire
Beaucoup de suites sont definies par des processus iteratifs: on se donne x0 , puis une
loi x11+1 = f(x11 ). Interessons-nous au cas ou f depend non seulement de la variable
x, mais aussi d'une variable aleatoire, par exemple du resultat d'un tirage a pile ou
face. On comprend que tout ce qu'on peut esperer prevoir clans ce cas sont des valeurs
moyennes : moyennes prises sur un grand nombre d'experiences et/ou moyennes
temporelles pour des grands temps (n - oo). C'est l'exemple de la marche aleatoire
( encore appelee marche de l'ivrogne - quand elle a lieu sur les rn~uds d'un reseau - ou
de la fourmi saoule ou mouvement brownien). Imaginons un ivrogne qui se deplace
sur une route. II fait un pas en avant ou en arriere avec, a chaque fois, la meme
probabilite p = 1/2. S'il est completement ivre, les directions de chacun de ses pas sont
independantes. Supposons qu'il fasse des pas de meme longueur (1 m, par exemple)
que nous prendrons comme unite de longueur. Soit x11 son abscisse au bout de n pas.
Clairement :
Xn+I = Xn + En,
ou En vaut 1 ou -1 suivant le resultat d'un tirage a pile ou face.
Exercice 8.1. [PD] Calculer la limite de la valeur moyenne (x11 ) quand n - oo.
Calculer ensuite la valeur moyenne de x~. En deduire que l'ivrogne, en moyenne,
s'eloignera infiniment de son point de depart.
Pouvez-vous generaliser a deux et trois dimensions?
Indication. Considerer la valeur moyenne de x~.
Exercice 8.2. [PD]
1. Appliquer le theoreme de la limite centrale a la variable aleatoire
II
Xn =xo+ IEj.
j=I
Retrouver les resultats precedents ainsi que la loi de distribution asymptotique de x11 •
2. Memes questions si on suppose que la probabilite de tirer 1 et-1 est respectivement pet q.
CHAPITRE 8. MOUVEMENT BROWNIEN ET ADN
8.1 Marche aleatoire
Beaucoup de suites sont definies par des processus iteratifs: on se donne x0 , puis une
loi x11+1 = f(x11 ). Interessons-nous au cas ou f depend non seulement de la variable
x, mais aussi d'une variable aleatoire, par exemple du resultat d'un tirage a pile ou
face. On comprend que tout ce qu'on peut esperer prevoir clans ce cas sont des valeurs
moyennes : moyennes prises sur un grand nombre d'experiences et/ou moyennes
temporelles pour des grands temps (n - oo). C'est l'exemple de la marche aleatoire
( encore appelee marche de l'ivrogne - quand elle a lieu sur les rn~uds d'un reseau - ou
de la fourmi saoule ou mouvement brownien). Imaginons un ivrogne qui se deplace
sur une route. II fait un pas en avant ou en arriere avec, a chaque fois, la meme
probabilite p = 1/2. S'il est completement ivre, les directions de chacun de ses pas sont
independantes. Supposons qu'il fasse des pas de meme longueur (1 m, par exemple)
que nous prendrons comme unite de longueur. Soit x11 son abscisse au bout de n pas.
Clairement :
Xn+I = Xn + En,
ou En vaut 1 ou -1 suivant le resultat d'un tirage a pile ou face.
Exercice 8.1. [PD] Calculer la limite de la valeur moyenne (x11 ) quand n - oo.
Calculer ensuite la valeur moyenne de x~. En deduire que l'ivrogne, en moyenne,
s'eloignera infiniment de son point de depart.
Pouvez-vous generaliser a deux et trois dimensions?
Indication. Considerer la valeur moyenne de x~.
Exercice 8.2. [PD]
1. Appliquer le theoreme de la limite centrale a la variable aleatoire
II
Xn =xo+ IEj.
j=I
Retrouver les resultats precedents ainsi que la loi de distribution asymptotique de x11 •
2. Memes questions si on suppose que la probabilite de tirer 1 et-1 est respectivement pet q.