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CHAPITRE 7. MODELE D'ISING
Exercice 7.19. [Gaz sur reseau] Montrer qu'on peut mettre en bijection la fonction
de partition grand canonique du gaz sur reseau avec la fonction de partition
canonique du modele d'Ising avec champ magnetique.
Remarque sur la transition de phase liquide-gaz: On a vu que, dans le modele d'Ising,
le seul point delicat etait pour T < Tc et B = 0. A quoi correspond ici la magnetisation
spontanee? Faisons done ~ + ~ = 0 et T < Tc, Avec le dictionnaire etabli dans le corrige,
la traduction donne
et deux densites au choix
€
µ=-q2
1-mo(T)
ng =
2
1 + mo(T)
n1=--2-ou m0 (T) represente la partie droite de la fonction m dessinee Fig. 7.2. On remarque
que n1 + ng = 1. Il est naturel d' associer la phase de haute densite a la phase liquide (la
phase « spin up ») et la phase de foible densite a la phase gazeuse. Done quand T < Tc,
si la densite n est comprise entre ng et n1, le systeme se separe spontanement en deux
sous-systemes homogenes de densite n1 et ng,
Exercice 7.20. [AD] [ Champ moyen] Calculer, al' approximation du champ moyen,
!'equation d'etat du gaz sur reseau.
Remarque sur la comparaison des resultats du gaz sur reseau en champ moyen et
I' equation de Van der Waals : L' exercice 7 .20 montre qu' en coordonnees universelles
(P = Pl Pc, V = V /Ve et T = T /Tc), !'equation d'etat prend la forme
-
-
1
1
P = c[Tlog (1- 2v) + 2v2 l
(7.8)
avec c = 2/(1-2log2) pour q = 6. Ila suffit de porter kbTc = qE/4, nc = 1/2 dans
!'equation 7.28. Pour un gaz de Van der Waals, on sait que
-
81.'
3
Pvdw = 3V-1 - y2.
(7.9)
Les deux courbes sont tres voisines (voir Fig. 7.2).
Numeriquement, a foible densite, on peut voir que Pre V ~ 2.591.' alors que
Pvdw V ~ 2.671.'. C'est un petit miracle (du ace que -c/2 ~ 8/3) qui n'a rien a voir avec
la limite du gaz parfait: le changement d'echelle n'a en effet aucun sens dans ce cas.
CHAPITRE 7. MODELE D'ISING
Exercice 7.19. [Gaz sur reseau] Montrer qu'on peut mettre en bijection la fonction
de partition grand canonique du gaz sur reseau avec la fonction de partition
canonique du modele d'Ising avec champ magnetique.
Remarque sur la transition de phase liquide-gaz: On a vu que, dans le modele d'Ising,
le seul point delicat etait pour T < Tc et B = 0. A quoi correspond ici la magnetisation
spontanee? Faisons done ~ + ~ = 0 et T < Tc, Avec le dictionnaire etabli dans le corrige,
la traduction donne
et deux densites au choix
€
µ=-q2
1-mo(T)
ng =
2
1 + mo(T)
n1=--2-ou m0 (T) represente la partie droite de la fonction m dessinee Fig. 7.2. On remarque
que n1 + ng = 1. Il est naturel d' associer la phase de haute densite a la phase liquide (la
phase « spin up ») et la phase de foible densite a la phase gazeuse. Done quand T < Tc,
si la densite n est comprise entre ng et n1, le systeme se separe spontanement en deux
sous-systemes homogenes de densite n1 et ng,
Exercice 7.20. [AD] [ Champ moyen] Calculer, al' approximation du champ moyen,
!'equation d'etat du gaz sur reseau.
Remarque sur la comparaison des resultats du gaz sur reseau en champ moyen et
I' equation de Van der Waals : L' exercice 7 .20 montre qu' en coordonnees universelles
(P = Pl Pc, V = V /Ve et T = T /Tc), !'equation d'etat prend la forme
-
-
1
1
P = c[Tlog (1- 2v) + 2v2 l
(7.8)
avec c = 2/(1-2log2) pour q = 6. Ila suffit de porter kbTc = qE/4, nc = 1/2 dans
!'equation 7.28. Pour un gaz de Van der Waals, on sait que
-
81.'
3
Pvdw = 3V-1 - y2.
(7.9)
Les deux courbes sont tres voisines (voir Fig. 7.2).
Numeriquement, a foible densite, on peut voir que Pre V ~ 2.591.' alors que
Pvdw V ~ 2.671.'. C'est un petit miracle (du ace que -c/2 ~ 8/3) qui n'a rien a voir avec
la limite du gaz parfait: le changement d'echelle n'a en effet aucun sens dans ce cas.