7.6 EXEMPLES D'APPLICATION
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Exercice 7.17. [DJ [Antiferromagnetisme.] Faire, a l'image de ce qui a ete fait
pour le modele ferromagnetique, une theorie de champ moyen pour le modele
antiferromagnetique sur un reseau cubique simple. La magnetisation n' est plus ici
le bon parametre d' ordre : a temperature nulle, le systeme est ordonne, tous les
spins sont alternes et la magnetisation est nulle. II faut distinguer deux sous-reseaux
1 et 2 imbriques et le bon parametre de contr6le devient m 51ag = m 1 - m 2•
Tracer clans le plan {B, T} le lieu des points ou mstag = 0 (ligne critique).
Exercice 7.18. [AD] [Bi-couche.] Traiter le probleme 7.11 a !'approximation du
champ moyen.
7.6 Exemples d'application
7.6.1 Gaz sur reseau
Le calcul de la fonction de partition de configuration d'un fluide peut etre approche
de bien des manieres. Nous allons expliquer, en nous appuyant sur le modele d'Ising,
la methode du gaz sur reseau 5 (lattice-gas).
On place les molecules du fluide aux nreuds d'un reseau, et on suppose : i) qu'un
site ne peut avoir qu'une ou zero molecule, ce qui simule le creur dur de !'interaction,
ii) que !'interaction attractive, -E, ne s'exerce qu'entre plus proches voisins (ce qui
simule la courte portee de !'interaction). L'hamiltonien s'ecrit
HLc =-EI ninj,
(7.6)
ou le nombre d'occupation du ieme site ni vaut O ou 1, suivant que le site est vide ou
occupe. On ne peut pas passer simplement au modele d'Ising par la transformation :
(7.7)
parce qu'on doit avoir un nombre de particules A= I,~ ni constant, ce qui reviendrait,
suivant l'Eq. 7.7, a fixer la magnetisation totale.
5 C.N. Yang and T.D. Lee, Phys. Rev. 87 (1952) 404. Ce papier de Yang et Lee est un papier celebre de la
physique mathematique. II montre pour la premiere fois qu'en effectuant correctement Jes passages a la
limite clans des series infinies on peut obtenir Jes transitions de phase liquide-gaz ou liquide-solide avec
!es seules hypotheses de la mecanique statistique. Pour avoir pris quelques libertes avec ces passages a la
limite, de grands physiciens, comme Jes Mayer, avaient echoue.
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Exercice 7.17. [DJ [Antiferromagnetisme.] Faire, a l'image de ce qui a ete fait
pour le modele ferromagnetique, une theorie de champ moyen pour le modele
antiferromagnetique sur un reseau cubique simple. La magnetisation n' est plus ici
le bon parametre d' ordre : a temperature nulle, le systeme est ordonne, tous les
spins sont alternes et la magnetisation est nulle. II faut distinguer deux sous-reseaux
1 et 2 imbriques et le bon parametre de contr6le devient m 51ag = m 1 - m 2•
Tracer clans le plan {B, T} le lieu des points ou mstag = 0 (ligne critique).
Exercice 7.18. [AD] [Bi-couche.] Traiter le probleme 7.11 a !'approximation du
champ moyen.
7.6 Exemples d'application
7.6.1 Gaz sur reseau
Le calcul de la fonction de partition de configuration d'un fluide peut etre approche
de bien des manieres. Nous allons expliquer, en nous appuyant sur le modele d'Ising,
la methode du gaz sur reseau 5 (lattice-gas).
On place les molecules du fluide aux nreuds d'un reseau, et on suppose : i) qu'un
site ne peut avoir qu'une ou zero molecule, ce qui simule le creur dur de !'interaction,
ii) que !'interaction attractive, -E, ne s'exerce qu'entre plus proches voisins (ce qui
simule la courte portee de !'interaction). L'hamiltonien s'ecrit
HLc =-EI ninj,
(7.6)
ou le nombre d'occupation du ieme site ni vaut O ou 1, suivant que le site est vide ou
occupe. On ne peut pas passer simplement au modele d'Ising par la transformation :
(7.7)
parce qu'on doit avoir un nombre de particules A= I,~ ni constant, ce qui reviendrait,
suivant l'Eq. 7.7, a fixer la magnetisation totale.
5 C.N. Yang and T.D. Lee, Phys. Rev. 87 (1952) 404. Ce papier de Yang et Lee est un papier celebre de la
physique mathematique. II montre pour la premiere fois qu'en effectuant correctement Jes passages a la
limite clans des series infinies on peut obtenir Jes transitions de phase liquide-gaz ou liquide-solide avec
!es seules hypotheses de la mecanique statistique. Pour avoir pris quelques libertes avec ces passages a la
limite, de grands physiciens, comme Jes Mayer, avaient echoue.