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CHAPITRE 7. MODELE D'ISING
ou j(i) represente les q indices plus proches voisins de i. (q est la coordinence
du reseau).
2. En prenant la moyenne statistique sur toutes les configurations de spins et
en assimilant la valeur moyenne d'une fonction a la fonction de sa valeur
moyenne, deduire !'equation classique d'auto-coherence de la theorie du
champ moyen
(er) = tanh,B( (cr)qJ + B).
Nous allons enfin montrer clans l'exercice suivant 3 qu'on retrouve l'energie libre
du champ moyen clans un modele d'Ising a coordinence infinie ( ou tous les spins
« sentent » taus les spins). L'hamiltonien 4 s'ecrit
ou on aura utilise le fait que cr 2 = 1.
Cette methode est un peu plus longue. Elle a l'interc~t d'utiliser des procedes de
calcul tres courants en physique theorique.
Exercice 7.15. [AD] [Champ Mayen IV.]
1. Demontrer l'identite mathematique
a2
1 Id _ly2+ Ylay
e = - - ye 2
•
V2rr
2. En utilisant cette identite, ecrire la fonction de partition Z. En interchangeant
la somme sur Jes spins et !'integration sur y, effectuer cette somme.
3. Appliquer la methode du col a l'integrale qui donne Z.
Exercice 7.16. [AD] [Chaleur specifique.J
1. Dans !'approximation du champ moyen, exprimer la chaleur specifique par
spin, c, en fonction de m, magnetisation moyenne par spin.
2. Montrer que pour une temperature T legerement inferieure a la temperature
critique Tc, on a
3. Examiner la limite de c quand r- r;. Donner l'allure de c(T)
3 Tire de The theory of critical phenomena, J. J. Binney et al., Oxford science publications (1992).
4 On a divise !'interaction par N pour que l'energie reste finie a la limite thermodynamique.