7.5 APPROXIMATION DU CHAMP MOYEN
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Exercice 7.13. [ADJ [Champ Moyen II.] La derivation precedente, intuitive, ne
donne pas de borne inferieure a I' erreur commise sur l' energie libre. La derivation
qui suit est de ce point de vue plus precise. On ecrit H =Ho+ (H-H0), ou Ho est
un hamiltonien de particules independantes que I' on determine par une procedure
variationnelle de minimisation de l'energie libre du systeme. On etablit d'abord
un lemme mathematique, puis on derive le « meilleur » champ moyen au sens que
l'on vient de definir.
1. Montrer a l'aide d'un dessin que si une fonction g(x) est convexe (c'est-a-dire
toujours situee au-dessous de ses secantes), alors
(g(x)) 2::g((x)).
En deduire
(7.5)
2. On pose H 1 = H - Ho et I' on ecrit H = Ho + H 1• Soit Z0 et Z les fonctions de
partition correspondantes. Montrer que
z
Zo = (e-f3H1)0 2:: e-f3(H1>0.
11 faut comprendre (X)0, comme la valeur moyenne de l'observable X avec
l'hamiltonien H 0 . En deduire
3. On choisit Ho = -A L7=I 12.
La methode qui suit est probablement la plus elegante. Elle demande un peu de
reflexion sur ce qu' est une moyenne.
Exercice 7.14. [ADJ [Champ Moyen III.] On considere le modele d'Ising habituel
d'hamiltonien
H({ (i,j}
i
1. Montrer que si taus les spins sont fixes sauf le ieme, alors la valeur moyenne de
ir; = tanh [/3 J L j(i)