62
CHAPITRE 7. MODELE D'ISING
Exercice 7.11. [Developpement a basse temperature]
1. [PD] Cas J = 0. Sans calcul, pouvez-vous decrire qualitativement la distribution des spins ? Calculer la fonction de partition exacte Z et donner une
reponse plus quantitative sur l'etat du systeme. Donner un developpement a
basse temperature de I' energie libre.
2. [DJ Quel est l'effet qualitatif du branchement de !'interaction J?
Indication. Distinguer les cas suivant le signe de B- K.
7.5 Approximation du champ moyen
Dans cette approximation, on remplace la somme des interactions entre particules
par un champ moyen qui agit sur les particules alors independantes. lei, la dimension
de l'espace n'intervient pas, seule la coordinence, c'est-a-dire le nombre de particules
en interaction, compte. L'approximation du champ moyen sera d'autant meilleure
que la coordinence sera grande. Comme cette derniere augmente en general avec la
dimension d de l'espace, on comprend pourquoi les calculs en champ moyen seront
d'autant meilleurs que d est grand. Etant donne son importance pour la physique et
son inten~t pedagogique, nous allons presenter plusieurs derivations du champ moyen.
Exercice 7.12. [AD] [Champ Moyen I.] C'est le terme d'interaction a deux corps
L CTiCJ"j qui empeche de factoriser la fonction de partition: l'hamiltonien n'est
pas somme d'hamiltoniens independants. Pour obtenir un hamiltonien approche
qui le soit, on part de l'identite
cr;crj = (cr;-m)(crj-m) + m(cri + crj)- m2,
valable quel que soit m et on choisit m = (er), quantite bien sur inconnue mais
qu'on calculera par la suite.
1. A quelle condition peut-on negliger L(cr;-m)(crj-m)?
2. Montrer qu'alors l'hamiltonien H peut s'ecrire comme une somme d'hamiltoniens h(m,cr;) independants.
3. En minimisant l'energie libre par rapport am, calculer la fonction de partition approchee, et en deduire !'equation implicite qui determine m.
4. Resoudre graphiquement cette equation. Examiner soigneusement le cas
B=O.
5. Ecrire un programme calculant numeriquement la fonction m(T). On pourra
prendre J = 1, q = 6 et B = 10- 6 .
CHAPITRE 7. MODELE D'ISING
Exercice 7.11. [Developpement a basse temperature]
1. [PD] Cas J = 0. Sans calcul, pouvez-vous decrire qualitativement la distribution des spins ? Calculer la fonction de partition exacte Z et donner une
reponse plus quantitative sur l'etat du systeme. Donner un developpement a
basse temperature de I' energie libre.
2. [DJ Quel est l'effet qualitatif du branchement de !'interaction J?
Indication. Distinguer les cas suivant le signe de B- K.
7.5 Approximation du champ moyen
Dans cette approximation, on remplace la somme des interactions entre particules
par un champ moyen qui agit sur les particules alors independantes. lei, la dimension
de l'espace n'intervient pas, seule la coordinence, c'est-a-dire le nombre de particules
en interaction, compte. L'approximation du champ moyen sera d'autant meilleure
que la coordinence sera grande. Comme cette derniere augmente en general avec la
dimension d de l'espace, on comprend pourquoi les calculs en champ moyen seront
d'autant meilleurs que d est grand. Etant donne son importance pour la physique et
son inten~t pedagogique, nous allons presenter plusieurs derivations du champ moyen.
Exercice 7.12. [AD] [Champ Moyen I.] C'est le terme d'interaction a deux corps
L
pas somme d'hamiltoniens independants. Pour obtenir un hamiltonien approche
qui le soit, on part de l'identite
cr;crj = (cr;-m)(crj-m) + m(cri + crj)- m2,
valable quel que soit m et on choisit m = (er), quantite bien sur inconnue mais
qu'on calculera par la suite.
1. A quelle condition peut-on negliger L
2. Montrer qu'alors l'hamiltonien H peut s'ecrire comme une somme d'hamiltoniens h(m,cr;) independants.
3. En minimisant l'energie libre par rapport am, calculer la fonction de partition approchee, et en deduire !'equation implicite qui determine m.
4. Resoudre graphiquement cette equation. Examiner soigneusement le cas
B=O.
5. Ecrire un programme calculant numeriquement la fonction m(T). On pourra
prendre J = 1, q = 6 et B = 10- 6 .