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CHAPITRE 7. MODELE D'ISING
1. Calculer E0, energie du fondamental. Montrer que sa degenerescence g(E0 )
vaut 2.
2. Calculer L').£1 = E1 - E0, energie du premier etat excite par rapport au fondamental. Calculer sa degenerescence g(E1 ).
3. [PD] Calculer L').£2, energie du second etat excite par rapport au fondamental.
Calculer sa degenerescence g(E2 ). Attention: L').£2 * 2!).E1 !
4. [PD] Ecrire la fonction de partition comme fonction des quantites ,B, Bo,
!).Em et g(Em), m = 0, 1, 2 · · · supposees connues.
5. Montrer pourquoi c'est un developpement a basse temperature. Calculer les
premiers term es de l' energie moyenne.
6. [ADJ Calculer explicitement !).Em etg(Em) pour m = 3.
7.3.3 Un modele antiferromagnetique
L'hamiltonien prend la forme
N
H = 1 r
i= I
ou J,B > 0. On voit que, sur un reseau carre par exemple, pour B = T = 0, le
fondamental est obtenu avec tous les spins alternes et done M = 0. Et pourtant le
systeme est ordonne. On distingue alors deux sous-reseaux imbriques (1) et (2) ou
tousles spins sont paralleles. Le« bon » parametre d'ordre est Mstag = M 1 -M2 («stag»
pour« staggered»: alterne).
Remarque importante : lei la geometrie du reseau joue un role de. Sur un reseau
triangulaire par exemple, il ya frustration c'est-a-dire qu'il est impossible d'alterner
taus les spins plus proches voisins. Comme il existe un grand nombre de fa<;:ons de
disposer ces frustrations sans changer l'energie totale, le fondamental est tres degenere;
on comprend egalement qu'a basse energie coexiste une multitude d'etats metastables
qui sont autant de pieges ralentissant la thermalisation du systeme. Si de plus il y a du
desordre clans !'interaction], on a affaire a la physique des verres de spin, physique qui
connait un developpement important aujourd'hui, mais qui sort du cadre de ce livre.
CHAPITRE 7. MODELE D'ISING
1. Calculer E0, energie du fondamental. Montrer que sa degenerescence g(E0 )
vaut 2.
2. Calculer L').£1 = E1 - E0, energie du premier etat excite par rapport au fondamental. Calculer sa degenerescence g(E1 ).
3. [PD] Calculer L').£2, energie du second etat excite par rapport au fondamental.
Calculer sa degenerescence g(E2 ). Attention: L').£2 * 2!).E1 !
4. [PD] Ecrire la fonction de partition comme fonction des quantites ,B, Bo,
!).Em et g(Em), m = 0, 1, 2 · · · supposees connues.
5. Montrer pourquoi c'est un developpement a basse temperature. Calculer les
premiers term es de l' energie moyenne.
6. [ADJ Calculer explicitement !).Em etg(Em) pour m = 3.
7.3.3 Un modele antiferromagnetique
L'hamiltonien prend la forme
N
H = 1 r
i= I
ou J,B > 0. On voit que, sur un reseau carre par exemple, pour B = T = 0, le
fondamental est obtenu avec tous les spins alternes et done M = 0. Et pourtant le
systeme est ordonne. On distingue alors deux sous-reseaux imbriques (1) et (2) ou
tousles spins sont paralleles. Le« bon » parametre d'ordre est Mstag = M 1 -M2 («stag»
pour« staggered»: alterne).
Remarque importante : lei la geometrie du reseau joue un role de. Sur un reseau
triangulaire par exemple, il ya frustration c'est-a-dire qu'il est impossible d'alterner
taus les spins plus proches voisins. Comme il existe un grand nombre de fa<;:ons de
disposer ces frustrations sans changer l'energie totale, le fondamental est tres degenere;
on comprend egalement qu'a basse energie coexiste une multitude d'etats metastables
qui sont autant de pieges ralentissant la thermalisation du systeme. Si de plus il y a du
desordre clans !'interaction], on a affaire a la physique des verres de spin, physique qui
connait un developpement important aujourd'hui, mais qui sort du cadre de ce livre.