7.3 DEUX DIMENSIONS
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7.3.1 Developpement a haute temperature
Exercice 7.8. On considere le modele d'Ising sur un reseau de N spins dont
l'hamiltonien s' ecrit
ou J > 0 et les spins er;= ±1.
H =-]I erw"j,
(i,j)
1. Ecrire sa fonction de partition canonique Z(/3). Que vaut-elle a la limite
T ~ oo ? Montrer que ce resultat etait evident a priori.
2. Sur ce reseau, a quelles conditions peut-on dire que le nombre de paires de
sites« plus proches voisins » est 13 = Nq/2, ou q est la coordinence du reseau?
On prendra clans la suite un reseau plan carre ou q = 4.
3. [PD] Montrer qu'on a l'identite
/Jfcr;cri = cosh,BJ(l + ver;erj),
avec v = tanh,BJ. En deduire un developpement de Z(/3) en puissance de v.
4. [DJ Montrer que les termes en vet v 2 sont nuls. Pour ce faire on pourra
montrer plus generalement que
~ ern; er
11
i ... er~" = 2N si tous les nz sont pairs
LJ I ]
{crl
0 clans le cas contraire.
5. Calculer l'energie libre jusqu'au terme en v 4 (on remplacera le cosh 2 ,BJ par
son expression en fonction de v).
7.3.2 Developpement a basse temperature
Exercice 7.9. On considere le modele d'Ising sur un reseau carre de N spins, de
coordinence q = 4. Son hamiltonien s' ecrit :
ou J > 0 et er;=± 1.
H=-J Ier;erj,
(ij)