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CHAPITRE 7. MODELE o'ISING
2. En deduire que
Z(N) = 2N coshN-l /JJ.
Une fa<;on d'evaluer !'influence d'un spin i sur un spin i +jest de calculer (cncn+j),
En effet s'ils sont alignes, en moyenne cette quantite vaut 1. Elle vaut O si les spins sont
independants puisque (cr;cT;+j) = (cr;)(cn+j) = 0. Calculons maintenant cette quantite.
Exercice 7.5. [ADJ [Fonction de correlation.] On cherche a calculer la fonction de
correlation (cr;cn+j), Pour ce faire on generalise l'hamiltonien du modele
1. Montrer que
N-1
H = - 'I.hcriCTi+I·
i=I
puis plus generalement que
1 1
&z
I
(CTiCTi+j) = --:------/Jl z 8];8h+ I ... Bh+j-1 !,=!
2. En s'inspirant du calcul de l'Ex. 4 pour le calcul de la fonction de partition,
demontrer que
(criCTi+j) = (tanhfJJi
3. Soit r = ja la distance de deux sites (i, i + j) (a est la longueur de maille du
reseau), montrer que la fonction de correlation peut se mettre sous la forme
canonique
(criCTi+j) = e-i.
Exprimer la longueur de correlation I; en fonction de a et fJJ. Peut-elle
diverger?
Exercice 7.6. On considere le modele d'Ising a une dimension d'hamiltonien
N-1
H =-]I CTiCTi+ 1,
i=I
avec J > 0 et CTi = ±1. On a vu a l'Ex. 7.4 que la fonction de partition canonique
s'ecrivait
Z = 2(2coshf3J)N-l.
(7.4)