7.2 UNE DIMENSION
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On fixe clans ce qui suit la temperature du systeme. Donner a priori les limites
a haute et basse temperature de I' energie. Calculer la fonction de partition
canonique du systeme, puis son energie moyenne.
2. Soit M = L CTi la magnetisation du systeme. Quelles sont ses valeurs possibles
et avec quelle probabilite? Calculer sa valeur moyenne (M). Le resultat estil surprenant? Calculer son ecart quadratique moyen cr 2 = (M 2 ) - (M) 2 •
Commenter. Calculer (IMI).
3. Expliquer pourquoi on pouvait s'attendre a priori aux resultats de la question
2 a la limite OU r - 0 et r - 00,
4. Sachant qu'a la limite thermodynamique J /Tc= 0.5 log( 1 + Y2) et que 2
(
1
)1/8
M=Nl,
sinh 4 2/3!
(7.3)
dessiner schematiquement sur le meme graphe l'Eq. 7.3 et la moyenne de
la valeur absolue de la magnetisation par spin pour N = 4. Pour ce faire on
devra ajouter un champ magnetique exterieur B puis faire B - 0. Expliquer
le role de ce champ.
7.2 Une dimension
lei, les resultats sont analytiques. Mais malheureusement la dimension d = 1 donne
des resultats non generiques: il n'y a pas de magnetisation spontanee (Cfles Ex. 7.6
et 7.7).
7.2.1 Sans champ magnetique
Exercice 7.4. [PD] [Fonction de partition.] On considere le modele non periodique
compose de N spins et sans champ magnetique.
1. Ecrire sa fonction de partition Z(N), puis en faisant explicitement la somme
sur les deux valeurs possibles de cr1, montrer qu' on a la relation de recurrence
Z(N) = 2Z(N -1) cosh/3/.
2 Fonnule due a Lars Onsager en 1944.