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CHAPITRE 7. MODELE D'ISING
Remarque: L'exemple le plus simple d'inversion de limite est celui-ci. Soit x E [O, 1 ].
On a clairement
lim lim :II t lim lim :II,
N-HX>X-->l
x-->l N-->oo
puisque 1 t 0. L'Ex. 1.7 est une excellente illustration de !'implication en physique de
ce qui pouvait apparaitre comme une « subtilite » pour mathematiciens.
Nous montrerons a la fin de ce chapitre, avec !'approximation du champ moyen,
comment se produit cette transition de phase. Commern;:ons d'abord par des exercices
qui nous familiariseront avec le modele d'Ising.
7.1.2 Calculs de la fonction de partition
Void l' exercice le plus simple, mais qui apprend deja quelque chose sur la competition entre temperature et champ exterieur, le cas J = 0. C' est un modele a spins
independants soumis a un champ exterieur B. Son hamiltonien est
H({cr}) = I h(cri) avec h(cr) = -Ber.
Exercice 7.2. Calculer la fonction de partition canonique, l'energie et la magnetisation de ce systeme.
Remarque: On a deja traite le cas microcanonique clans l'Ex. 7.1.
L'exercice qui suit permet de se faire les dents sur le modele d'Ising clans le cas le
plus simple.
Exercice 7.3. [Sur un carre 2 x 2.] On considere le modele d'Ising sur un carre de 4
spins. Son hamiltonien s' ecrit :
H =-!I (ij}
ou J > 0 et vo1sms.
1. Combien y-a-t-il de microetats? Quels sont les niveaux d'energie accessibles
et quelle est leur degenerescence?