7.1 PRESENTATION
Attention. II faut bien distinguer deux types de sommes :
- des sommes de nature geometrique : L;IT; (somme sur les sites) ou
L(i,j)ITilTj (somme sur les paires de sites voisins)
une somme sur les configurations: L(CT} (somme portant sur taus les etats
a-= ±1 de spin).
Ainsi L; a-; contient N termes, L(i,j) a-;a-j en contient Nq/2, aux effets de bard pres,
tandis que L(CT} en contient 2N.
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Comme manifestement-(M) = (-M) et que par ailleurs (-M) = (M) (on change
taus les a-; en -a-;, ce qui laisse a-;a-j invariant) on conclut que (M) = 0. Bien st'.ir
si B t 0, !'argument de symetrie valable pour l'Eq. 7.2 tombe en defaut: le terme
additionnel enf3BL;a-; dans !'argument de l'exponentielle brise cette invariance et on
comprend que (M) t 0. Mais que se passe-t-il quand B -t O? Si la fonction definie en
(7.2) (avec le terme additionnel du au champ magnetique) etait une fonction continue
de B, on s'attendrait encore a (M) -t 0. Mais ce n'est pas le cas a T = 0 ou la fonction
est singuliere. C'est l'objet de l'Ex. 7.3.
La magnetisation spontanee n'a pas lieu seulement pour T = 0, mais dans toute
une gamme de temperatures. Elle s'explique par le fait que quand N -too, la fonction
M(B,N)/N cesse d'etre continue au voisinage de B = 0. Ce qu'on devra considerer ce
n' est pas, pour tout N ( et T t O)
lim M(B,N) = M(O,N).
B---->0
N
N
Cette quantite est nulle, comme on l'a vu, ce qui implique que
lim lim M(B,N) = lim O = 0.
N---->ooB---->O
N
N---->oo
En revanche il faut considerer
1 . 1 . M(B,N)
1m 1m
.
B---->ON---->oo
N
On montre, ce qui est loin d'etre trivial, que si d 2 2, il existe une temperature critique
en-dessous de laquelle cette limite n'est pas nulle. C'est le phenomene de transition
de phase. Du point de vue de la physique c'est bien dans cet ordre qu'il faut prendre
les limites : il existe toujours dans la nature un champ magnetique residuel qui leve la
degenerescence, et dont la contribution a l'energie est negligeable.