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CHAPITRE 7. MODELE D'ISING
au-dela, clans les fluides de Lennard-Jones, les alliages binaires, la gelation, voire en
sciences humaines (avec ou sans precaution). Onsager, en 1944, a reussi le tour de
force mathematique de donner une expression analytique compacte de sa fonction de
partition 1 •
11 s'agit d'un modele de N spins disposes sur un reseau. Chaque spin prendre les valeurs ± 1. 11 y a done 2N microetats possibles. L'hamiltonien s' ecrit
H({cr}) =-! r (i,j)
(7.1)
Dans l'Eq. 7.1 et par la suite, le symbole L(i,j) signifie que la somme est etendue aux
seuls couples i,j qui sont plus proches voisins. Generalement on prend B ;:: 0. Si J > 0 le
modele est dit ferromagnetique, si J < 0, antiferromagnetique. On appellera M = L er;
sa magnetisation. Noter que J et B ont la dimension d'une energie.
Exercice 7.1. [Limites a basse et haute temperature.] On considere un modele
d'Ising sur un reseau carre ou cubique simple, avec J > 0. On appelle q sa coordinence, c'est-a-dire le nombre de plus proches voisins d'un site (sur un reseau
carre, q = 4, sur un reseau cubique simple, q = 6). En negligeant les effets de bord,
calculer les limites T - 0 et T - oo de son energie et de sa magnetisation.
7.1.1 La magnetisation spontanee
Certaines substances presentent une magnetisation spontanee: meme en l'absence de
champ exterieur, elles presentent en-dessous d'une temperature critique, Tc, appelee
temperature de Curie,une magnetisation non nulle. L'Eq. 7.1 a priori ne peut pas
expliquer cette magnetisation quand B = 0. En effet si M = L er;, on a
avec
(M) = ~ r(Icr/llL(i,j) z l z = I ( e8f L(i,j) { (7.2)
1 En tout cas a 2d et sans champ magnetique. On ne sait toujours pas faire mieux aujourd'hui (en 2008).