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CHAPITRE 5. PETITS PROBLEMES, JOLIS RESULTATS
7. [DJ Ce meme puits est maintenant attractif. Repondre aux memes questions
que precedemment. L' energie obtenue a pres moyenne sur le desordre a
un comportement pathologique a la limite T - 0. Pouvez-vous expliquer
pourquoi la methode employee tombe dans ce cas en defaut?
5. 7 Fibre elastique
La plupart des substances se dilatent lorsque la temperature augmente. 11 existe
cependant une large classe de systemes qui, dans les memes conditions, se contractent :
il s'agit de fibres constituees de longues molecules (caoutchouc, fibres polymeriques).
A basse temperature, les molecules sont alignees; lorsque la temperature augmente, le
mouvement lateral des noeuds de la chaine diminue sa longueur effective totale. On
parle alors d'elasticite entropique 5 .
Nous allons considerer deux modeles simples decrivant une fibre elastique polymerique. Une extremite est fixee au point O et l'autre est soumise a une force X constante
dirigee selon l'axe ( Ox). Le systeme est maintenu a la temperature T. Dans le premier
exercice, l'espace de phase est discret; il est continu dans le second.
Exercice 5.7.
1. [La chaine de Keratine] On considere une chaine unidimensionnelle constituee par N > > 1 molecules identiques asymetriques de longueur a et de
largeur b (b < a). Chaque molecule peut se trouver dans deux positions: soit
dans l'axe de la chaine, soit perpendiculaire (voir Fig. 5.1). Ces deux positions
contribuent a l' energie de la chaine via l'hamiltonien
N
H=-XL=-x Iz;,
i=l
ou Lest la longueur (inconnue) de la chaine qui est determinee par la donnee
des microetats l; = a ou b, ( i = 1 · · · N).
(a) Calculer la fonction de partition canonique de configuration 6 de la
5 Une montage amusant illustre ce phenomene : une roue de bicyclette dont !es rayons ont ete remplaces
par des elastiques est montee sur un axe. Un chauffage local deforme les fibres qui, en se contractant,
desequilibrent la roue : elle se met a tourner. Si !es fibres se dilataient, le mouvement de rotation serait
inverse. Le montage est visible notamment a l'Espace des Sciences Pierre-Gilles de Gennes de l'ESPCI a
Paris.
6 C'est-a-dire qu'on ne considerera pas la contribution de l'energie cinetique.
CHAPITRE 5. PETITS PROBLEMES, JOLIS RESULTATS
7. [DJ Ce meme puits est maintenant attractif. Repondre aux memes questions
que precedemment. L' energie obtenue a pres moyenne sur le desordre a
un comportement pathologique a la limite T - 0. Pouvez-vous expliquer
pourquoi la methode employee tombe dans ce cas en defaut?
5. 7 Fibre elastique
La plupart des substances se dilatent lorsque la temperature augmente. 11 existe
cependant une large classe de systemes qui, dans les memes conditions, se contractent :
il s'agit de fibres constituees de longues molecules (caoutchouc, fibres polymeriques).
A basse temperature, les molecules sont alignees; lorsque la temperature augmente, le
mouvement lateral des noeuds de la chaine diminue sa longueur effective totale. On
parle alors d'elasticite entropique 5 .
Nous allons considerer deux modeles simples decrivant une fibre elastique polymerique. Une extremite est fixee au point O et l'autre est soumise a une force X constante
dirigee selon l'axe ( Ox). Le systeme est maintenu a la temperature T. Dans le premier
exercice, l'espace de phase est discret; il est continu dans le second.
Exercice 5.7.
1. [La chaine de Keratine] On considere une chaine unidimensionnelle constituee par N > > 1 molecules identiques asymetriques de longueur a et de
largeur b (b < a). Chaque molecule peut se trouver dans deux positions: soit
dans l'axe de la chaine, soit perpendiculaire (voir Fig. 5.1). Ces deux positions
contribuent a l' energie de la chaine via l'hamiltonien
N
H=-XL=-x Iz;,
i=l
ou Lest la longueur (inconnue) de la chaine qui est determinee par la donnee
des microetats l; = a ou b, ( i = 1 · · · N).
(a) Calculer la fonction de partition canonique de configuration 6 de la
5 Une montage amusant illustre ce phenomene : une roue de bicyclette dont !es rayons ont ete remplaces
par des elastiques est montee sur un axe. Un chauffage local deforme les fibres qui, en se contractant,
desequilibrent la roue : elle se met a tourner. Si !es fibres se dilataient, le mouvement de rotation serait
inverse. Le montage est visible notamment a l'Espace des Sciences Pierre-Gilles de Gennes de l'ESPCI a
Paris.
6 C'est-a-dire qu'on ne considerera pas la contribution de l'energie cinetique.