5.6 DESORDRE
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5.6 Desordre
On considere un gaz parfait dont les molecules interagissent avec des impuretes dont
on connait le nombre mais pas la distribution spatiale. On va montrer qu' on peut
connaitre la fonction de partition d'un tel gaz, soit a la limite des faibles densites
d'impuretes, soit en « moyennant sur le desordre » clans l' ensemble grand canonique 4 •
Exercice 5.6. On considere un gaz parfait de N particules classiques interagissant
avec p impuretes fixes situees en R1, • • • Rp, L'hamiltonien s'ecrit
1. Calculer sa fonction de partition canonique.
2. Calculer sa fonction de partition grand canonique Zgc·
3. [AD] Supposons Jes impuretes reparties clans le volume. On moyenne IogZgc
sur le desordre en integrant sur Jes impuretes clans le volume avec un facteur
1/V. Montrer qu'on obtient ainsi
ou f = J dR ( e-f3V(R) - 1) et a= /3µ, µ etant le potentiel chimique. Sip = p / V
est la densite d'impuretes qu'on suppose finie a la limite thermodynamique,
deduire que
4. Calculer I' equation d'etat de ce gaz parfait avec impuretes, calculer son
energie.
5. [PD] Pourquoi a-t-on du se placer clans !'ensemble grand canonique?
6. [PD] On considere le cas d'un potentiel carre repulsif de hauteur V0 et
de portee r0• Montrer qu'a la limite des faibles densites d'impuretes, on
peut prevoir les limites haute et basse temperature de l'energie du systeme
clans !'ensemble canonique ou les Ra sont fixes. Calculer l'energie a toute
temperature.
4 Ce probleme nous a ete suggere par E. Brezin.
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On considere un gaz parfait dont les molecules interagissent avec des impuretes dont
on connait le nombre mais pas la distribution spatiale. On va montrer qu' on peut
connaitre la fonction de partition d'un tel gaz, soit a la limite des faibles densites
d'impuretes, soit en « moyennant sur le desordre » clans l' ensemble grand canonique 4 •
Exercice 5.6. On considere un gaz parfait de N particules classiques interagissant
avec p impuretes fixes situees en R1, • • • Rp, L'hamiltonien s'ecrit
1. Calculer sa fonction de partition canonique.
2. Calculer sa fonction de partition grand canonique Zgc·
3. [AD] Supposons Jes impuretes reparties clans le volume. On moyenne IogZgc
sur le desordre en integrant sur Jes impuretes clans le volume avec un facteur
1/V. Montrer qu'on obtient ainsi
ou f = J dR ( e-f3V(R) - 1) et a= /3µ, µ etant le potentiel chimique. Sip = p / V
est la densite d'impuretes qu'on suppose finie a la limite thermodynamique,
deduire que
4. Calculer I' equation d'etat de ce gaz parfait avec impuretes, calculer son
energie.
5. [PD] Pourquoi a-t-on du se placer clans !'ensemble grand canonique?
6. [PD] On considere le cas d'un potentiel carre repulsif de hauteur V0 et
de portee r0• Montrer qu'a la limite des faibles densites d'impuretes, on
peut prevoir les limites haute et basse temperature de l'energie du systeme
clans !'ensemble canonique ou les Ra sont fixes. Calculer l'energie a toute
temperature.
4 Ce probleme nous a ete suggere par E. Brezin.