38
CHAPITRE 5. PETITS PROBLEM ES, ]OLIS RESULTATS
(c) Pouvez-vous commenter tousles resultats en donnant les echelles de
temperature de ce systeme.
(d) II se trouve qu'ici on pouvait obtenir (plus rapidement) les resultats a)
et b) a l'aide du seul hamiltonien initial (5.1). Montrez-le.
5.5 Poussee d'Archimede
Voici une derivation microscopique de la poussee d' Archimede 3 •
Exercice 5.5. [PD] On considere un cylindre droit de base L x Let de hauteur
arbitrairement grande occupe par un gaz parfait compose de N molecules soumises
a leur seul poids mg. Dans ce type de probleme, la bonne definition de la limite
thermodynamique est N / L 2 = n 1, fixe quand N - oo et L - oo.
1. Montrer que la probabilite qu'une molecule soit a une hauteur comprise
entre z et z + dz est proportionnelle a e-f3mgzdz. On en deduit l'equation
barometrique pour la densite volumique :
n(z) = n(O)e-f3mgz.
En utilisant la conservation du nombre de molecules, montrer que n1f3mg =
n(O). Ce resultat est-il coherent du point de vue dimensionnel?
2. Calculer la fonction de partition canonique Zgp du systeme, puis son energie
libre Fgp·
3. On place maintenant a l'interieur du cylindre une tres petite particule macroscopique, spherique de rayon a, impenetrable aux molecules du gaz parfait.
On l'imagine fixee a la hauteur z0• Calculer la nouvelle fonction de partition
canonique Z du gaz; faire apparaitre clans Z la difference de deux integrales
avec un terme dominant et un terme correctif. En faisant une approximation
sur ce dernier, montrer que l'energie libre peut s'ecrire
F = Fgp + f (zo).
4. Calculer 8
8 F qui ales dimensions d'une force. De quelle force s'agit-il?
Zo
3 Ce probleme est du a Guy Mayer.
CHAPITRE 5. PETITS PROBLEM ES, ]OLIS RESULTATS
(c) Pouvez-vous commenter tousles resultats en donnant les echelles de
temperature de ce systeme.
(d) II se trouve qu'ici on pouvait obtenir (plus rapidement) les resultats a)
et b) a l'aide du seul hamiltonien initial (5.1). Montrez-le.
5.5 Poussee d'Archimede
Voici une derivation microscopique de la poussee d' Archimede 3 •
Exercice 5.5. [PD] On considere un cylindre droit de base L x Let de hauteur
arbitrairement grande occupe par un gaz parfait compose de N molecules soumises
a leur seul poids mg. Dans ce type de probleme, la bonne definition de la limite
thermodynamique est N / L 2 = n 1, fixe quand N - oo et L - oo.
1. Montrer que la probabilite qu'une molecule soit a une hauteur comprise
entre z et z + dz est proportionnelle a e-f3mgzdz. On en deduit l'equation
barometrique pour la densite volumique :
n(z) = n(O)e-f3mgz.
En utilisant la conservation du nombre de molecules, montrer que n1f3mg =
n(O). Ce resultat est-il coherent du point de vue dimensionnel?
2. Calculer la fonction de partition canonique Zgp du systeme, puis son energie
libre Fgp·
3. On place maintenant a l'interieur du cylindre une tres petite particule macroscopique, spherique de rayon a, impenetrable aux molecules du gaz parfait.
On l'imagine fixee a la hauteur z0• Calculer la nouvelle fonction de partition
canonique Z du gaz; faire apparaitre clans Z la difference de deux integrales
avec un terme dominant et un terme correctif. En faisant une approximation
sur ce dernier, montrer que l'energie libre peut s'ecrire
F = Fgp + f (zo).
4. Calculer 8
8 F qui ales dimensions d'une force. De quelle force s'agit-il?
Zo
3 Ce probleme est du a Guy Mayer.