5.4 UN EXEMPLE PEDAGOGIQUE
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5.4 Un exemple pedagogique
Cet exercice est un peu academique, mais il est simple et fait bien comprendre le role
de la temperature et des interactions 2 .
Exercice 5.4. [PD] On considere une boite divisee en deux parties et occupee par
deux particules discernables. L'etat microscopique du systeme est specifie par les
deux variables de« position» r 1 et r2• On prendra r; = -1 (i = 1,2) si la particule
correspondante est dans la partie de gauche et r; = 1 si elle est dans la partie droite.
Le nombre total de microetats est done 2 x 2 = 4. L'hamiltonien du systeme s'ecrit
(5.1)
ou Or1,r 2 est le symbole de Kronecker (qui vaut 1 si r1 = r2 et O sinon). On supposera
K»A > 0.
1. Ecrire le tableau des energies du systeme suivant les « positions » des particules
dans la boite. Pouvez-vous interpreter la signification physique de A et de K?
On suppose maintenant le systeme dans un bain a la temperature T. Decrire
sans calcul les positions des particules quand T croit de O a l'infini.
2. Ecrire la fonction de partition canonique du systeme. Calculer l' energie
moyenne (E) et (Or 1 ,r 2 ). Retrouver ainsi plus quantitativement les resultats de
la question precedente.
3. Pour calculer la fonction de correlation, on doit calculer (r;), puis C = (r1 r2).
Pour faire ces calculs, la methode usuelle est de modifier l'hamiltonien (5.1)
en
(5.2)
(a) Ecrire la nouvelle fonction de partition canonique Z' et montrer que
Que vaut (rf)?
(b) Calculer C en utilisant la derivee seconde mixte de la fonction de partition relative a l'hamiltonien (5.2).
2 Tire de The theory of critical phenomena, J. J. Binney et al., Oxford science publications ( 1992).
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5.4 Un exemple pedagogique
Cet exercice est un peu academique, mais il est simple et fait bien comprendre le role
de la temperature et des interactions 2 .
Exercice 5.4. [PD] On considere une boite divisee en deux parties et occupee par
deux particules discernables. L'etat microscopique du systeme est specifie par les
deux variables de« position» r 1 et r2• On prendra r; = -1 (i = 1,2) si la particule
correspondante est dans la partie de gauche et r; = 1 si elle est dans la partie droite.
Le nombre total de microetats est done 2 x 2 = 4. L'hamiltonien du systeme s'ecrit
(5.1)
ou Or1,r 2 est le symbole de Kronecker (qui vaut 1 si r1 = r2 et O sinon). On supposera
K»A > 0.
1. Ecrire le tableau des energies du systeme suivant les « positions » des particules
dans la boite. Pouvez-vous interpreter la signification physique de A et de K?
On suppose maintenant le systeme dans un bain a la temperature T. Decrire
sans calcul les positions des particules quand T croit de O a l'infini.
2. Ecrire la fonction de partition canonique du systeme. Calculer l' energie
moyenne (E) et (Or 1 ,r 2 ). Retrouver ainsi plus quantitativement les resultats de
la question precedente.
3. Pour calculer la fonction de correlation, on doit calculer (r;), puis C = (r1 r2).
Pour faire ces calculs, la methode usuelle est de modifier l'hamiltonien (5.1)
en
(5.2)
(a) Ecrire la nouvelle fonction de partition canonique Z' et montrer que
Que vaut (rf)?
(b) Calculer C en utilisant la derivee seconde mixte de la fonction de partition relative a l'hamiltonien (5.2).
2 Tire de The theory of critical phenomena, J. J. Binney et al., Oxford science publications ( 1992).