36
CHAPITRE 5. PETITS PROBLEMES, JOLIS RESULTATS
1. Une petite masse m est suspendue au ressort. Soit
p2
1
H = - + mgz+ -mw 2 z 2
2m
2
l'hamiltonien du systeme. A quel choix de l'origine (z = O) correspond cet
hamiltonien?
2. Ecrire la fonction de partition canonique du systeme.
3. Quelle est !'elongation moyenne (z) du ressort. Ce resultat etait-il previsible?
4. Calculer l'ecart type de z.
5. Pensez-vous qu'on puisse construire un ressort permettant ainsi de mesurer
la constante de Boltzmann?
5.3 Cristal d'Hydrogene
Exercice 5.3. Une molecule de dihydrogene H2, au repos, peut se trouver clans l'un
des quatre etats electroniques suivants :
- un etat note (1) d'energie t:1 = 0, appele « parahydrogene »,
- trois etats notes (2), (3), (4) d'energie t:2 = t:3 = t:4 = 11. > 0, appeles
« orthohydrogene ».
1. Avez-vous une idee de l'origine de ces quatre etats?
On considere un cristal compose de N molecules de dihydrogene. On les
suppose done discernables et on neglige leur energie cinetique et leur energie
d'interaction.
2. On appelle E l'energie du cristal isole et on note ni le nombre de molecules
clans l'etat (i). Montrer que n1 est alors fixe. Calculer la fonction de partition
microcanonique du cristal.
3. En deduire sa fonction de partition canonique Z. Y avait-il une fac;:on plus
rapide de calculer Z?
4. On suppose toujours que le systeme est immerge clans un bain thermique
a temperature T fixee. Peut-on prevoir la valeur moyenne de l'energie (E)
a tres basse et tres haute temperature? Verifier votre intuition par le calcul
de (E).
5. Calculer les valeurs moyennes (ni),
CHAPITRE 5. PETITS PROBLEMES, JOLIS RESULTATS
1. Une petite masse m est suspendue au ressort. Soit
p2
1
H = - + mgz+ -mw 2 z 2
2m
2
l'hamiltonien du systeme. A quel choix de l'origine (z = O) correspond cet
hamiltonien?
2. Ecrire la fonction de partition canonique du systeme.
3. Quelle est !'elongation moyenne (z) du ressort. Ce resultat etait-il previsible?
4. Calculer l'ecart type de z.
5. Pensez-vous qu'on puisse construire un ressort permettant ainsi de mesurer
la constante de Boltzmann?
5.3 Cristal d'Hydrogene
Exercice 5.3. Une molecule de dihydrogene H2, au repos, peut se trouver clans l'un
des quatre etats electroniques suivants :
- un etat note (1) d'energie t:1 = 0, appele « parahydrogene »,
- trois etats notes (2), (3), (4) d'energie t:2 = t:3 = t:4 = 11. > 0, appeles
« orthohydrogene ».
1. Avez-vous une idee de l'origine de ces quatre etats?
On considere un cristal compose de N molecules de dihydrogene. On les
suppose done discernables et on neglige leur energie cinetique et leur energie
d'interaction.
2. On appelle E l'energie du cristal isole et on note ni le nombre de molecules
clans l'etat (i). Montrer que n1 est alors fixe. Calculer la fonction de partition
microcanonique du cristal.
3. En deduire sa fonction de partition canonique Z. Y avait-il une fac;:on plus
rapide de calculer Z?
4. On suppose toujours que le systeme est immerge clans un bain thermique
a temperature T fixee. Peut-on prevoir la valeur moyenne de l'energie (E)
a tres basse et tres haute temperature? Verifier votre intuition par le calcul
de (E).
5. Calculer les valeurs moyennes (ni),