3.3 CALCULS DANS L'ENSEMBLE MICROCANONIQUE
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On suppose E, V et N fixes. L'exercice suivant demontre que si l'entropie microcanonique comme fonction de E,N, Vest extensive 2 («grand» systeme), elle est
necessairement concave 3 • Si pour un « grand » systeme, un calcul (par exemple fait
a !'approximation du champ moyen) donnait une entropie convexe clans uncertain
domaine, il y aurait contradiction (question 3 de l'Ex. 3.2). La question 4 indique un
moyen de lever cette contradiction.
Exercice 3.2. [DJ [Construction de Maxwell.] On va raisonner par l'absurde.
Supposons que S(E), fonction croissante de E, ait une partie convexe (voir la
Fig. 3.1). Appelons E1 et E2 les abscisses des deux points ou Schange de concavite.
Appelons E1 et Eg les abscisses des points de contact de la droite bitangente a la
courbe S(E).
1. Dessiner sur le meme graphe les courbes S(E), T(E) et cv(E).
2. Montrer qu'entre E1 et E2 on a cv(E) < 0.
3. Montrer qu'un tel systeme ne peut pas etre extensif.
4. Montrer qu'en donnant a S(E) les valeurs prises sur la bitangente entre Eget
E1 (construction de Maxwell), on retrouve l'extensivite.
3.3 Calculs dans !'ensemble microcanonique
Les calculs qui suivent sont inspires d'un article de la revue Physical Review 4 . Ils
etablissent les relations entre T, E et Cv clans un systeme fini. Ils montrent en particulier de fa<;:on explicite comment on retrouve les resultats canoniques a la limite
thermodynamique.
que, dans le premier cas surtout, temperature et energie sont loin d'etre des donnees experimentales,
mais resultent de modeles. L'interpretation des resultats est done delicate. On pourra consulter le livre de
Dieter H.E. Gross Microcanonical Thermodynamics, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.
2 Ce qui veut dire que
S(,1E,,1V,,!N) = ,!S(E, V,N).
3 Une fonction/(x) est concave sur un intervalle I si, quels que soient le nombre ,1 > 0 et Jes points x 1 et x2
de I, on a
f (,!x1 + (l-,1)x2) ~ ,!f (x1) + (1-,1)/ (x2).
Geometriquement ceci signifie que la courbe est au-dessus de toute secante. Si elle est derivable, la
concavite signifie que f" (x) :<, 0. Typiquement la parabole y = ax 2 est concave si a< 0, convexe sin on.
4 "Laplace-transform technique for deriving thermodynamic equations from the classical microcanonical
ensemble" by Eric M. Pearson, Timur Halicioglu, and William A. Tiller, Phys. Rev. A32 (1985) 3030.
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On suppose E, V et N fixes. L'exercice suivant demontre que si l'entropie microcanonique comme fonction de E,N, Vest extensive 2 («grand» systeme), elle est
necessairement concave 3 • Si pour un « grand » systeme, un calcul (par exemple fait
a !'approximation du champ moyen) donnait une entropie convexe clans uncertain
domaine, il y aurait contradiction (question 3 de l'Ex. 3.2). La question 4 indique un
moyen de lever cette contradiction.
Exercice 3.2. [DJ [Construction de Maxwell.] On va raisonner par l'absurde.
Supposons que S(E), fonction croissante de E, ait une partie convexe (voir la
Fig. 3.1). Appelons E1 et E2 les abscisses des deux points ou Schange de concavite.
Appelons E1 et Eg les abscisses des points de contact de la droite bitangente a la
courbe S(E).
1. Dessiner sur le meme graphe les courbes S(E), T(E) et cv(E).
2. Montrer qu'entre E1 et E2 on a cv(E) < 0.
3. Montrer qu'un tel systeme ne peut pas etre extensif.
4. Montrer qu'en donnant a S(E) les valeurs prises sur la bitangente entre Eget
E1 (construction de Maxwell), on retrouve l'extensivite.
3.3 Calculs dans !'ensemble microcanonique
Les calculs qui suivent sont inspires d'un article de la revue Physical Review 4 . Ils
etablissent les relations entre T, E et Cv clans un systeme fini. Ils montrent en particulier de fa<;:on explicite comment on retrouve les resultats canoniques a la limite
thermodynamique.
que, dans le premier cas surtout, temperature et energie sont loin d'etre des donnees experimentales,
mais resultent de modeles. L'interpretation des resultats est done delicate. On pourra consulter le livre de
Dieter H.E. Gross Microcanonical Thermodynamics, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.
2 Ce qui veut dire que
S(,1E,,1V,,!N) = ,!S(E, V,N).
3 Une fonction/(x) est concave sur un intervalle I si, quels que soient le nombre ,1 > 0 et Jes points x 1 et x2
de I, on a
f (,!x1 + (l-,1)x2) ~ ,!f (x1) + (1-,1)/ (x2).
Geometriquement ceci signifie que la courbe est au-dessus de toute secante. Si elle est derivable, la
concavite signifie que f" (x) :<, 0. Typiquement la parabole y = ax 2 est concave si a< 0, convexe sin on.
4 "Laplace-transform technique for deriving thermodynamic equations from the classical microcanonical
ensemble" by Eric M. Pearson, Timur Halicioglu, and William A. Tiller, Phys. Rev. A32 (1985) 3030.