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CHAPITRE 13. APPENDICE
On determinera C par la contrainte (13.19). Ce qui donne !'equation implicite
pour C:
l = 2Csinh 2 ~.
Solution 13.2
Le point fixe x* est solution de !'equation
X = }(x+ ~),
soit x* = -{a. Com me f' (x*) = 0, ce point fixe est stable, il est done limite de la suite Xn
quel que soit xo,
C'est un moyen de calcul extremement rapide de -{a. Par exemple, pour a= 2,
en partant de x0 = 2, en trois iterations seulement, on a deja V2 avec une excellente
precision.
Solution 13.3 Pour que les Xn restent clans l'intervalle [ 0, l], on prendra O < ;i :::; 4. Le
point fixe x* est solution de }'equation
x= ,lx(l-x).
Soit x* = 1-}. On voit facilement en calculant f' (x*) qu'il est stable si ;i < 3. Si
3 < ;i < 1 + Yf,, la suite n'est plus convergente, mais les suites paires et impaires le
sont. II suffit d'etudier la suite Xn+2 = flf(x11 )] = [l 2 l(x11 ); on cherche ses points fixes
et on etudie leur stabilite. Pour des valeurs de ;i superieures, apparaissent ensuite des
periodes 4, 8, ... '2 11 •
Pour ;i = 4, il se trouve qu'on peut, par une astuce, exprimer x11 comme fonction
de n et x0 et exhiber le chaos. En effet, posons
Xn = sin 2 1r811 avec O < Bn < 1,
I'Eq. 13.32 s'ecrit
· 2 f}
4 · 2 f}
2 f}
· 22 f}
Slll 7r 11 + I = Slll 7r 11 COS 7r n = Slll 7r 11
qui se resout, a cause des limites de 811 en
Bn+ 1 = 2811 mod 1.