CHAPITRE 2
Distribution des vitesses
L
A DISTRIBUTION des vitesses des molecules d'un fluide est une quantite fondamentale. On peut l'etablir simplement a partir des principes de la mecanique
statistique (Ex. 2.3 et 2.4). Maxwell, par un raisonnement general sur les invariances,
avait propose une derivation plus simple encore, mais elle etait mal fondee.
2.1 Par un raisonnement general
Exercice 2.1. [ADJ [Demonstration de Maxwell, 1860.] On considere un fluide a
l'equilibre. Soit P(u, v, w) du dv dw la probabilite que l'extremite du vecteur vitesse
d'une molecule (supposee ponctuelle) soit clans le domaine (u, u + du), ( v, v +
dv), (w, w + dw). On suppose les variables aleatoires u, v et w independantes.
Montrer qu'on peut ainsi determiner la forme de P(u, v, w) a l'aide des seules
considerations de symetries et d'isotropie de I' espace.
Indication. On montrera que P(u, v, w) peut aussi bien s'ecrire comme fonction
f(u 2 +v 2 + w 2 ), que comme produit F(u)F(v)F(w).
On montrera ensuite que seule l'exponentielle satisfait une equation de type
( + ) - g(x)g(y)
g X y - g(O) .
Remarque : Le raisonnement precedent est du a Maxwell. II n' est neanmoins pas
convaincant (comme Maxwell le reconnaitra en 1867). Voyez-vous quelle hypothese
du modele peut etre mise en cause?
Exercice 2.2. [PD] [Maxwellienne I.] Montrer, en s'aidant de l'Ex. 2.1, que la
probabilite pour que le module de la vitesse c d'une molecule de fluide soit compris
entre e et e + de est :
4 3 2 b 2
W(e) de= -{ii bz e e- c de,