SOLUTIONS DES EXERCICES
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D'ou
cr(T) = 2_ avl =-2_ asl .
V oT p
V oP T
On est done ramene, pour etudier cr(T), a etudier la variation de l'entropie avec
la pression.
2. La contribution des phonons a l'energie est donnee par
V I E(k)
Eph = (271' )3 ef3E(k) - 1 dk.
( 11.26)
Dans le cas des grandes longueurs d' onde, le calcul se calque sur celui des
photons (sans l'effet de polarisation). On a alors, en designant par c la vitesse du
son
E = ~ (oo nkc47l'k2 dk= ~ (kbT)4 (oo ~dx
ph
(271' )3 Jo ef31ikc - 1 271' 2 (nc )3 Jo eX -1 .
4
L'integrale vaut Ts (voir l'appendice mathematique), d'ou finalement 10 :
La chaleur specifique s'obtient a partir de la definition dB= Cp1idT. lei:
C = 2V7l'2 ktT3
ph
15 n3c3 .
D' ou l' entropie :
3. La contribution de la branche rotonique s'obtient en approximant la relation de
dispersion par une parabole au voisinage du minimum. L'approximation sera
aussi valable a basse temperature.
On remarque egalement que !'argument de l'exponentiel clans le facteur d'occupation des bosons (Eq. 11.26) est superieur a !).f kT, soit environ 8 a 1 K, et plus
IO On a etendu la partie lineaire phonon du spectre a l'infini, alors qu'il aurait fallu la couper au moment
ou elle s'inflechit vers la branche rotonique, ce qui correspond a des energies de l'ordre de 10 K. A basse
temperature, !'approximation est justifiee.