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CHAPITRE 11. FLUIDES QUANTIQUES
1[2
Comme a l'Ex. 11.7, on montre que l'integrale est egale a {(2) = - ""1,645 ...
6
La temperature critique de condensation pour N bosons est obtenue lorsque
2 k2y2
N = 7!__ _b _c_
6 (hw) 2 •
Solution 11.9
I. Les photons ne se conservent pas. Leur nombre, a une temperature donnee et
clans un volume donne, est une variable dynamique qui resulte de la minimisation de l'energie libre : Jt = 0. Cette equation exprime precisement que le
potentiel chimique des photons est nul.
2. A l'approximation continue (semi classique) le nombre de micro etats clans
l'intervalle d'energie considere est donne par la fonction de partition micro
canonique, soit
p(w)dw = 2 X h\ (
dpdq = 2h~ 47r (
p2 dp,
Jwe[w,w+dw]
Jwe[w,w+dw]
ou le facteur 2 tient compte de la polarisation et comme ici IPI = hw, il reste
C
V w 2
p(w)dw = 23 dw.
7r C
Le nombre de photons dN(L,w) sera obtenu en multipliant cette densite par
le nombre d'occupation des photons a l'energie correspondante; ce qui donne
bien l'Eq. 11.8 proposee.
3. Le decouplage de la matiere et du rayonnement implique que dN(L',w') =
dN(L, w). La loi d' echelle sur L et w montre que la fonction ne change pas, avec
une temperature T' = T/a.
4. On trouve pour l'energie l'expression:
l
oo
rr2L3
E=
hwdN(L,w) = ~(kbT)4,
o
lSn C
d'ou
et